Matematyka.pl

Witam,
bardzo proszę o pomoc z zadaniem:

Znajdź macierz \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{2} A \right)}\) dla \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&2\\3&2\end{bmatrix}}\)

Spróbuj wyznaczyć wzór na \(\displaystyle{ n}\)-tą potęgę macierzy \(\displaystyle{ A}\) (poprawność obliczeń warto potwierdzić dowodem indukcyjnym).

Potem skorzystaj z rozwinięcia funkcji sinus w szereg Maclaurina.

jak to na n-tą potęgę? nie rozumiem dlaczego... jaki jest cel tego zadania?

Taki, że będziesz mogła wyznaczyć postać szeregu Maclaurina w postaci sumy macierzy (bez komplikującego życie potęgowania).

kurcze... mógłby mi ktoś pokazać jak takie coś liczyć?
i w ogóle jaki jest tego sens, do czego coś takiego może służyć.
nie miałam czegoś takiego na zajęciach a dali na egzaminie więc nie mam zielonego pojęcia o co tu chodzi...

Rozwiń funkcję we wspomniany powyżej szereg. Potrafisz to zrobić?

Ja umiem, ale zadania nie umiem zrobić a mam podobne.

\(\displaystyle{ \sin {x} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{ \left( 2n-1 \right) !}}\)

\(\displaystyle{ A^{n} = \frac{1}{5}{\left[\begin{array}{ccc}3 \left( -1 \right) ^{n} + 2^{2n+1} & 2^{2n+1} - 2 \left( -1 \right) ^{n}\\3 \cdot 2^{2n} - 3 \left( -1 \right) ^{n} & 3 \cdot 2^{2n+1} + 2 \left( -1 \right) ^{n}\end{array}\right]}\)

Co mam zrobić z tymi wyszukanymi tworami?

Do rozwinięcia funkcji podstaw macierz \(\displaystyle{ A}\) w miejsce argumentu \(\displaystyle{ x}\) (lub \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}A}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\), jeśli mowa o podanym na początku tematu zadaniu).

Mam potraktować kolejne potęgi macierzy jako kolejne rozwinięcia szeregu? Czy \(\displaystyle{ A^n}\) była niepotrzebna?
Mogę prosić o komentarz, dlaczego tak to się robi, skąd to się bierze?

Dzem77 pisze:Mam potraktować kolejne potęgi macierzy jako kolejne rozwinięcia szeregu?

Dokładnie tak. Nie warto jednak rozwijać wzoru, tylko pozostawić go w zwartej postaci szeregu, wstawiając w miejsce \(\displaystyle{ x^{2n-1}}\) wyrażenie \(\displaystyle{ A^{2n-1}}\).

Można to jeszcze zrobić w miarę prosto z twierdzenia spektralnego, które mówi, że dla każdej macierzy \(\displaystyle{ A}\) o wartościach własnych \(\displaystyle{ \lambda_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,m}\) i odpowiadających im krotnościach \(\displaystyle{ k_{i}}\) istnieją macierze \(\displaystyle{ M_{i,p_{i}}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,m}\) oraz \(\displaystyle{ p_{i}=0,1,...,k_{i}-1}\), że dla każdej funkcji analitycznej \(\displaystyle{ f(x)}\) zbieżnej w pewnym kole zachodzi: \(\displaystyle{ f(A)= \sum_{i=1}^{m} \sum_{p_{i}=0}^{k_{i}-1} M_{i,p_{i}}\cdot f^{(p_{i})}(\lambda_{i})}\).

Aby wyznaczyć macierze \(\displaystyle{ M}\), musimy znaleźć wartości własne \(\displaystyle{ A}\), a są to 4 i -1, więc szukamy macierzy \(\displaystyle{ M_{1,0},M_{2,0}}\), a potem stosujemy twierdzenie spektralne do funkcji: \(\displaystyle{ 1, x}\), skąd te macierze wyznaczamy i na koniec stosujemy tw. spektralne do funkcji: \(\displaystyle{ \sin(t\cdot x)}\), gdzie t jest parametrem i stąd już wyjdzie to, co trzeba dla \(\displaystyle{ t=\frac{\pi}{2}}\).