Wyznacznik macierzy nieskończonej

[Mr_M]

Witam, prosił bym o dokładne rozwiązanie tych dwóch zadań. Przez dokładne mam namyśli rozpisanie mniej więcej wszystkich kroków jakie są potrzebne do ich zrobienia.

Zad.1
Obliczyć wyznacznik macierzy:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}x&a&a&...&a\\a&x&a&...&a\\a&a&x&...&a\\.&.&.&...&.\\a&a&a&...&x\end{array}\right|}\)


Zad.2
Jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) ma \(\displaystyle{ n}\) liniowo niezależnych wektorów własnych \(\displaystyle{ \{V_i\}}\), \(\displaystyle{ 1\le i\le n}\), to po utworzeniu macierzy \(\displaystyle{ P}\), której kolumnami będą \(\displaystyle{ V_i}\) , i po obliczeniu \(\displaystyle{ P^{-1}AP}\) otrzymamy macierz diagonalną \(\displaystyle{ B}\). Na przekątnej będą wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_n}\) macierzy \(\displaystyle{ A}\). Sprawdź to dla:


\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&1\\0&0&1\end{array}\right]}\)

I nie chodzi tutaj tylko o wyniki ale też o metodę rozwiązywania krok po kroku. Będę bardzo wdzięczny za pomoc Uśmiech

[pyzol]

1. Kolejno wykonujemy operacje:
\(\displaystyle{ w_1 = w_1 -w_2,...,w_{n-1}=w_{n-1}-w_n}\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}x-a&a-x&...&0&0\\0&x-a&...&0&0\\ ...&...&...&...&...\\0&0&...&x-a&a-x\\a&a&a&...&x\end{array}\right|}\)
teraz operacje:
\(\displaystyle{ k_2=k_2+k_1,...,k_{n}=k_{n}+k_{n-1}}\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}x-a&0&...&0&0\\0&x-a&...&0&0\\ ...&...&...&...&...\\0&0&...&x-a&0
\\a&2a&...&(n-1)a&(n-1)a+x\end{array}\right|}\)

[Mr_M]

A jak wyliczyć teraz wyznacznik z takiej macierzy?

Wiem, że ten wyznacznik powinien wynosić tyle:

\(\displaystyle{ [x+(n-1)a](x-a) ^{n-1}}\)

To zadanie już wiem jak rozwiązać.

To może teraz jakaś podpowiedź co do tego drugiego?