znajdź odległość

[karnix]

oblicz odległość między funkcjami sinus i cosinus w przestrzeni
\(\displaystyle{ (B(R,R),d _{\infty})}\).
B - zbiór wszytskich funkcjich ograniczonych dla objasnienia a metryka \(\displaystyle{ d _{\infty}}\) to metryka maximum
z góry dzięki

[maciejsporysz]

\(\displaystyle{ d_{ \infty }=\left| \sin x - \cos x \right|}\)
\(\displaystyle{ =\left| \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} \right|}\)
\(\displaystyle{ =\left| \sqrt{\sin^2 x -2\sin x \cos x+\cos ^2 x} \right|}\)
\(\displaystyle{ =\left| \sqrt{1 -2\sin x \cos x} \right|}\)
\(\displaystyle{ =\left| \sqrt{1 -\sin {2x}} \right|}\)
Ponieważ szukamy największej wartości, a sinus jest funkcją przyjmującą wartości od -1 do 1, więc:
\(\displaystyle{ d_{ \infty }=\sqrt{1-(-1)}\right|=\sqrt{2}}\)