Szybkie pytanie do układu równań

myther · Post autor: **myther** » 27 lut 2012, o 16:21

Witam,

https://www.matematyka.pl/53125.htm

W tym temacie - dlaczego wyznacznik główny musi być równy zero? Co wtedy z pozostałymi wyznacznikami? Czy też muszą być równe zero bo wtedy jest nieskończenie rozwiązań niezerowych oprócz zera bo zero przez zero to symbol nieoznaczony?

Dzieki za odpowiedź

MarcinSzydlowski · Post autor: **MarcinSzydlowski** » 27 lut 2012, o 16:24

Jeżeli wyznacznik macierzy głównej nie jest zerem, to układ posiada tylko jedno rozwiązanie, a skoro \(\displaystyle{ x=0,y=0, z= 0}\) jest rozwiązaniem to w tym przypadku nie będzie innego niezerowego.
Tak więc, aby istniało rozwiązanie niezerowe wyznacznik główny musi być zerem. Co prawda będziemy mieli wtedy nieskończenie wiele takich rozwiązań, niemniej jednak będzie jedno niezerowe.

myther · Post autor: **myther** » 27 lut 2012, o 16:53

Treść powinna być nieco inna - niezerowe ROZWIĄZANIA - tak mam w ćwiczeniach do tego konkretnie przykładu. Co to zmienia?

Marmat · Post autor: **Marmat** » 27 lut 2012, o 17:25

Taki układ nie jest układem Cramera. Nie rozwiązujemy tego za pomocą wyznaczników WX, Wy, Wz.
Jeżeli wyznacznik macierzy układu wynosi 0, to znacz, że jej rząd jest mniejszy niż 3.
Szukamy w niej minora rzędu2 (2x2), którego wyznacznik będzie niezerowy. Taki minor tworzą wyrazy: a12,a13,a32,a33.
Odrzucamy wiersze, które są poza minorem, w tym przypadku wiersz drugi. Wspólzynniki przy literce x są poza minorem, więc wyrazy z x przenosimy na drugą stronę i traktujemy jako parametry.
Układ ten rozwiązujemy za pomocą wyznaczników.
Otrzymujemy y i z w zależności od x, które może być dowolną liczbą rzeczywistą.
Zmieniając x otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych.
Pozdrawiam.

myther · Post autor: **myther** » 27 lut 2012, o 17:34

To jest układ Cramera, macierz główna jest kwadratowa i wyznacznik tej macierzy różny od zera (zakładając m-y)

MarcinSzydlowski · Post autor: **MarcinSzydlowski** » 27 lut 2012, o 17:38

myther ma rację. Jeżeli wyznacznik macierzy głównej nie jest zerem, to układ ten jest układem Cramera posiada on więc, dokładnie jedno rozwiązanie a skoro jest jednorodny, więc w takim przypadku jego jedynym rozwiązaniem jest trójka \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). W przeciwnym razie rząd macierzy głównej jest mniejszy niż ilość niewiadomych, więc układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań, a skoro tak, to musi posiadać przynajmniej jedno niezerowe.