Pisze po raz pierwszy na tym forum więc witam wszystkich.
Ale do rzeczy: może ktoś wie jak obliczyć wyznaczniki macierzy stopnia n:
\(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&...&n-1&n\\-1&x&0&...&0&0\\0&-1&x&...&0&0\\...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&-1&x\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cccccc}x&a&a&...&a&a\\-a&x&a&...&a&a\\-a&-a&x&...&a&a\\...&...&...&...&...&...\\-a&-a&-a&...&-a&x\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ C=\left[\begin{array}{cccccc}x&y&0&...&0&0\\0&x&y&...&0&0\\0&0&x&...&0&0\\...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&x&y\\y&0&0&...&0&x\end{array}\right]}\)
Z góry dzieki!
wyznacznik macierzy
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wyznacznik macierzy
Dla macierzy \(\displaystyle{ D \ i \ C}\) wyznacznik liczy się łatwo, wystarczy zauważyć, że w każdej z tych macierzy niezerowe są tylko dwa skosy-każdy inny będzie zawierał przynajmniej jedno 0.
Stąd:
\(\displaystyle{ detD=x^{n-1}+(-1)^{n-1}n\\
detC=x^n+y^n}\)
Dla macierzy B wyznacznik zależy od parzystości \(\displaystyle{ n}\)
Dwa składniki są niezmienne i niezależne od parzystości:
1. Iloczyn na diagoanli =\(\displaystyle{ x^n}\)
2. Iloczyny patrząc od lewej do prawej, tzn te w których występują tylko wartości \(\displaystyle{ a -a}\),których suma wynosi:\(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^{n-1}(-a)^{n-i}a^i}\)
Trzeci składniki sumy zależy już od parzystości \(\displaystyle{ n}\) (iloczyny od prawej do lewej strony)
Dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego nieparzyste skosy patrząc od lewej do prawej zawierają tylko liczby \(\displaystyle{ a\ i\ -a}\), stąd suma takich składników wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{n}{2}(-a)^\frac{n}{2}a^\frac{n}{2}}\)
Z kolei pozostałe skosy zawierają 2 liczby x każdy, stąd suma tych skosów wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{n}{2}x^2(-a)^{\frac{n}{2}-1}a^{\frac{n}{2}-1}}\)
Teraz n nieparzyste. W tym przypadku każdy skos od lewej do prawej zawsze zawiera dokładnie jednego x i tyle samo liczb \(\displaystyle{ a\ i\ -a}\)
Stąd suma taka wyraża się liczbą \(\displaystyle{ nx(-a)^{\abs[\frac{n}{2}]}a^{\abs[\frac{n}{2}]}}\)
Wystarczy teraz tylko to posklejać i gotowe:
\(\displaystyle{ detB=\left\{\begin{array}{l}x^n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}(-a)^{n-i}a^i-
(\frac{n}{2}(-a)^\frac{n}{2}a^\frac{n}{2}+
\frac{n}{2}x^2(-a)^{\frac{n}{2}-1}a^{\frac{n}{2}-1})\quad n-parzyste\\
x^n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}(-a)^{n-i}a^i-(nx(-a)^{\abs[\frac{n}{2}]}a^{\abs[\frac{n}{2}]})\quad n-nieparzyste\end{array}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ detD=x^{n-1}+(-1)^{n-1}n\\
detC=x^n+y^n}\)
Dla macierzy B wyznacznik zależy od parzystości \(\displaystyle{ n}\)
Dwa składniki są niezmienne i niezależne od parzystości:
1. Iloczyn na diagoanli =\(\displaystyle{ x^n}\)
2. Iloczyny patrząc od lewej do prawej, tzn te w których występują tylko wartości \(\displaystyle{ a -a}\),których suma wynosi:\(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^{n-1}(-a)^{n-i}a^i}\)
Trzeci składniki sumy zależy już od parzystości \(\displaystyle{ n}\) (iloczyny od prawej do lewej strony)
Dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego nieparzyste skosy patrząc od lewej do prawej zawierają tylko liczby \(\displaystyle{ a\ i\ -a}\), stąd suma takich składników wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{n}{2}(-a)^\frac{n}{2}a^\frac{n}{2}}\)
Z kolei pozostałe skosy zawierają 2 liczby x każdy, stąd suma tych skosów wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{n}{2}x^2(-a)^{\frac{n}{2}-1}a^{\frac{n}{2}-1}}\)
Teraz n nieparzyste. W tym przypadku każdy skos od lewej do prawej zawsze zawiera dokładnie jednego x i tyle samo liczb \(\displaystyle{ a\ i\ -a}\)
Stąd suma taka wyraża się liczbą \(\displaystyle{ nx(-a)^{\abs[\frac{n}{2}]}a^{\abs[\frac{n}{2}]}}\)
Wystarczy teraz tylko to posklejać i gotowe:
\(\displaystyle{ detB=\left\{\begin{array}{l}x^n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}(-a)^{n-i}a^i-
(\frac{n}{2}(-a)^\frac{n}{2}a^\frac{n}{2}+
\frac{n}{2}x^2(-a)^{\frac{n}{2}-1}a^{\frac{n}{2}-1})\quad n-parzyste\\
x^n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}(-a)^{n-i}a^i-(nx(-a)^{\abs[\frac{n}{2}]}a^{\abs[\frac{n}{2}]})\quad n-nieparzyste\end{array}}\)
-
jeyw
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 22 lis 2006, o 17:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 4 razy
wyznacznik macierzy
Niestety dla macierzy wyzszego rzedu nie mozna uzywac schematu Sarrusa i dlatego poprawiam Twoje rozwiazanie.
w macierzy C gdy rozwine wzgledem pierwszej kolumny mam:
\(\displaystyle{ detC=x\ det\left[\begin{array}{cccccc}x&y&...&0&0\\0&x&...&0&0\\...&...&...&...&...\\0&0&...&x&y\\0&0&...&0&x\end{array}\right]+(-1)^{n+1}y\ det\left[\begin{array}{cccccc}y&0&...&0&0\\x&y&...&0&0\\0&x&...&0&0\\...&...&...&...&...\\0&0&...&x&y\end{array}\right]}\)
Obie macierze sa juz rozmiaru \(\displaystyle{ n-1}\), dodatkowo jedna z nich jest gorno trojkatna a druga dolnotrojkatna, zatem ich wyznaczniki wynosza odpowiednio: \(\displaystyle{ x^{n-1},y^{n-1}}\). na koniec: \(\displaystyle{ detC=x^n+(-1)^ny^n\n\n}\)
Oznacze przez \(\displaystyle{ D_k}\)macierz, ktora wyglada tak samo jak \(\displaystyle{ D}\) tylko, ze jest rozmiaru \(\displaystyle{ k}\)
W macierzy D nalezy rozwinac wzgledem ostatniej kolumny, wtedy:\(\displaystyle{ detD_n=xdetD_{n-1}+(-1)^{n+1}n\left[\begin{array}{cccccc}-1&x&0&...&0&0\\0&-1&x&...&0&0\\...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&-1&x\\0&0&0&...&...&-1\end{array}\right]=xdetD_{n-1}+(-1)^{n+1}n(-1)^{n-1}=xdetD_{n-1}+n}\)
I niestety ten wyznacznik oblicza sie rekurencyjnie.
Mozna tez podobnie obliczyc wyznacznik macierzy B, ale tam jest jedno rownanie rekurencyjne w drugim. Narazie poczekam, moze ktos wpadnie na lepszy pomysl zeby go policzyc.
Pozdrawiam
w macierzy C gdy rozwine wzgledem pierwszej kolumny mam:
\(\displaystyle{ detC=x\ det\left[\begin{array}{cccccc}x&y&...&0&0\\0&x&...&0&0\\...&...&...&...&...\\0&0&...&x&y\\0&0&...&0&x\end{array}\right]+(-1)^{n+1}y\ det\left[\begin{array}{cccccc}y&0&...&0&0\\x&y&...&0&0\\0&x&...&0&0\\...&...&...&...&...\\0&0&...&x&y\end{array}\right]}\)
Obie macierze sa juz rozmiaru \(\displaystyle{ n-1}\), dodatkowo jedna z nich jest gorno trojkatna a druga dolnotrojkatna, zatem ich wyznaczniki wynosza odpowiednio: \(\displaystyle{ x^{n-1},y^{n-1}}\). na koniec: \(\displaystyle{ detC=x^n+(-1)^ny^n\n\n}\)
Oznacze przez \(\displaystyle{ D_k}\)macierz, ktora wyglada tak samo jak \(\displaystyle{ D}\) tylko, ze jest rozmiaru \(\displaystyle{ k}\)
W macierzy D nalezy rozwinac wzgledem ostatniej kolumny, wtedy:\(\displaystyle{ detD_n=xdetD_{n-1}+(-1)^{n+1}n\left[\begin{array}{cccccc}-1&x&0&...&0&0\\0&-1&x&...&0&0\\...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&-1&x\\0&0&0&...&...&-1\end{array}\right]=xdetD_{n-1}+(-1)^{n+1}n(-1)^{n-1}=xdetD_{n-1}+n}\)
I niestety ten wyznacznik oblicza sie rekurencyjnie.
Mozna tez podobnie obliczyc wyznacznik macierzy B, ale tam jest jedno rownanie rekurencyjne w drugim. Narazie poczekam, moze ktos wpadnie na lepszy pomysl zeby go policzyc.
Pozdrawiam