norma wektora

[freevolity]

Musze wyznaczyc \(\displaystyle{ \left \| x+3y \right \|,}\) jesli
\(\displaystyle{ x\perp y, \left \| x \right \|=2, \left \| y \right \|=5}\)

[Qń]

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa.

Q.

[freevolity]

chodzi o nierówność trójkąta?
\(\displaystyle{ \left \| x+y \right \|\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|}\)
nie wiem jak \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\) dopasować do tego zadania...

[Qń]

Nie, chodzi o tw. Pitagorasa - dla wektorów prostopadłych jest:
\(\displaystyle{ \left \| x+y \right \|^2= \left \| x \right \|^2+\left \| y \right \|^2}\)
(co zresztą łatwo wykazać korzystając z tego, że \(\displaystyle{ x\circ y=0}\))

Q.

[freevolity]

no dobrze...
podstawiam \(\displaystyle{ 2}\) pod normę \(\displaystyle{ x}\)
podstawiam \(\displaystyle{ 5}\) pod normę \(\displaystyle{ y}\)
otrzymuję \(\displaystyle{ 7= \left \| x+y \right \|}\)
potrzebuję wiedziec ile jest \(\displaystyle{ \left \| x+3y \right \|}\) i nie bardzo wiem co z ta trójką
nawt jesli rozłoże z definicji na pierwiastek to nic mi to nie daje

[Qń]

\(\displaystyle{ \left \| x+3y \right \|^2= \left \| x \right \|^2+\left \| 3y \right \|^2=\left \| x \right \|^2+9\left \| y \right \|^2}\)

Q.

[freevolity]

to aż za proste ;p ale dzieki wielkie

[Marmat]

To zadanie nie zostało dobrze rozwiązane.
Jeżeli norma pochodzi od iloczynu skalarnego, to:
\(\displaystyle{ \left \| x \right \|^2=x \circ x}\)
więc:
\(\displaystyle{ (x+3y) \circ (x+3y)=x \circ x+ 6x \circ y +9 y \circ y}\)
Ponieważ x i y są prostopadłe:
\(\displaystyle{ (x+3y) \circ (x+3y)=x \circ x+9 y \circ y}\)
\(\displaystyle{ \left \| x +3y \right \|^2=\left \| x \right \|^2+9\left \| y \right \|^2}\)
\(\displaystyle{ \left \| x +3y \right \|^2=4+45=49 \\
\left \| x +3y \right \|=7}\)
Pozdrawiam.

[Qń]

No jasne, zapomniałem o kwadratach, już poprawiam.

Q.