iloczyn skalarny

[freevolity]

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) wielomiany \(\displaystyle{ p=k+x, q=k-x}\) tworzą kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) w \(\displaystyle{ R[x]}\) z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ (p,q)=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)}\) ?-- 26 lut 2012, o 12:05 --nie jestem pewna swojego toku myslenia ale wychodzi mi \(\displaystyle{ k=0}\)
Czy ta odpowiedz jest prawidlowa?

[ares41]

Niech \(\displaystyle{ \varphi= \frac{\pi}{3}}\)

Z własności iloczynu skalarnego dostajemy:
\(\displaystyle{ \varphi=\arccos \left( \frac{\langle p,q\rangle}{\begin{Vmatrix} p
\end{Vmatrix}\cdot \begin{Vmatrix} q \end{Vmatrix}} } \right)}\)

Skorzystaj z tej zależności.-- 26 lut 2012, o 12:11 --

nie jestem pewna swojego toku myslenia

Jeżeli nie jesteś pewna, to pokaż swoje obliczenia, sprawdzimy.

[freevolity]

skorzystalam z innego wzoru na kąt miedzy wektorami
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \left( a,b \right) }{\left| a\right| \left| b\right| }}\)

Skoro ten kąt jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) a wiemy ze \(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{3} = \frac{1}{2}}\)
podstawilam do wzoru \(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{ \left( k-1 \right) \left( k+1 \right) + k^2+ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) }{ \sqrt[]{ \left( k-1 \right) ^2+ k^2+ \left( k+1 \right) ^2} \sqrt{ \left( k+1 \right) ^2+ k^2+ \left( k-1 \right) ^2} }}\)
Dalej juz przeksztalcenia i wychodzi \(\displaystyle{ k=0}\)
Dobrze?

[ares41]

Wzór jest ten tylko, tylko inaczej zapisany.

Sprawdź końcówkę obliczeń, bo \(\displaystyle{ k=0}\) nie spełnia tego równania.

[freevolity]

Czyli wyjsciowe równanie które napisalam jest ok? Łącznie z rozpisaniem iloczynu skalarnego tych wielomianów?

[ares41]

To jest Ok.
Dalej: zauważ, że licznik redukuje się do \(\displaystyle{ 3k^2-2}\), a mianownik do \(\displaystyle{ 3k^2+2}\), potem mnożymy na krzyż itd.

[freevolity]

już wiem głupi błąd w obliczeniach
Tak dla pewności \(\displaystyle{ k= \sqrt{2}}\)?
Dziekuję bardzo

[ares41]

Raczej \(\displaystyle{ \pm \sqrt{2}}\)