Macierz odwzorowania

[Katarzyna92]

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A=M _{f}(B _{1},B _{2}, f: R ^{4} \rightarrow R ^{3}}\), liniowe,\(\displaystyle{ B _{1}=((1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(-1,0,0,0)) B _{2}=((1,2,1),(0,0,1),(2,1,0)}\)


\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccc}1&-1&2&0\\1&0&1&1\\1&1&0&2\end{array}\right]}\)
a) Wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ A'}\) odwzorowania \(\displaystyle{ f}\)w bazach kanonicznych
b) Dwoma sposobami\(\displaystyle{ (z A, A')}\) wyznaczyć \(\displaystyle{ f(1,0,0,0)}\)

[Marmat]

Najpierw wyznacz w \(\displaystyle{ R^4}\) macierz P zmiany bazy z bazy \(\displaystyle{ B_1}\)
na bazę kanoniczną.
\(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&-1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right]}\)
Wyznacz macierz odwrotną \(\displaystyle{ P^{-1}}\)
\(\displaystyle{ P^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&1&-1\\0&1&-1&0\\-1&1&0&0\end{array}\right]}\) Macierz ta umożliwia przejście z bazy kanonicznej do bazy B1.
Wyznacz macierz Q, zmiany bazy z B2 na kanoniczną w R3.
\(\displaystyle{ Q=\left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&0&1\\1&1&0\end{array}\right]}\)
Macierz \(\displaystyle{ A'=QAP^-1 \\
A'=\left[\begin{array}{cccc}-4&6&-1&2\\-2&6&-5&4\\-1&4&-4&3\end{array}\right]}\)
B)
wektor x=(1,0,0,0) ma w bazie kanonicznej współrzędne: (1,0,0,0)
\(\displaystyle{ f(x)=A'x^T}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\left[\begin{array}{c}-4\\-2\\-1\end{array}\right]}\)
Są to współrzędne w bazie kanonicznej R3.
Oblicz teraz f(x) używając macierzy A.
Ponieważ jest to macierz odwzorowania f w bazach B1 i B2 musisz wyrazić współrzędne x w bazie B1:
\(\displaystyle{ x'=Q^{-1}x^T=\left[\begin{array}{c}0\\0\\-1\end{array}\right]}\)
teraz:
\(\displaystyle{ f(x)=A(x')^T =(0,-1,-2)}\)
Są to współrzędne w bazie B2.
Współrzędne w bazie kanonicznej -4,-2,-1).
Pozdrawiam.