Objętość czworościanu o podanych wierzchołkach

[wittek_]

Wyznacz objętość czworościanu o wierzchołkach
\(\displaystyle{ P_{1}=(1, 1, 1)}\)
\(\displaystyle{ P_{2}=(-1, 0, 1)}\)
\(\displaystyle{ P_{3}=(5, 6, 7)}\)
\(\displaystyle{ P_{4}=(2, 3, 1)}\)

[Marmat]

Wyznacz współrzędne Trzech wektorów zaczepionych w jednym wierzchołku np:
\(\displaystyle{ \vec{P_1P_2}= \vec{a} \\
\vec{P_1P_3}= \vec{b} \\
\vec{P_1P_4}= \vec{c}}\)
Są to wektory na których rozpięty jest ten czworościan.
Objętość czworościanu najłatwiej policzyć ze wzoru:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{6}\ \ \vec{a} \circ (\vec{b} \times \vec{c})}\)
Jest to iloczyn mieszany, który można obliczyć z wyznacznika:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{array}\right]}\)
Pozdrawiam.

[rodo]

\(\displaystyle{ V=\sqrt{\frac{\Delta}{288}}}\)

\(\displaystyle{ \Delta =\left| \begin{matrix}
0 & a_{12}^2 & a_{13}^2 & a_{14}^2 & 1\\
a_{12}^2 & 0 & a_{23}^2 & a_{24}^2 & 1\\
a_{13}^2 & a_{23}^2 & 0 & a_{34}^2 & 1\\
a_{14}^2 & a_{24}^2 & a_{34}^2 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{matrix}\right|}\)

Gdzie a z indeksami oznaczają długości krawędzi.