Wyznaczyć jądro oraz obraz.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
BcR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 lut 2012, o 19:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Wyznaczyć jądro oraz obraz.

Post autor: BcR »

Witam, mam problem z takim zadaniem:
Wyznacz KerT i ImT gdy:
\(\displaystyle{ T(x,y,z)=(-x-y+z, x+z, 2x+y)}\)

Zaczynam od liczenia KerT:

\(\displaystyle{ \begin {bmatrix} -1 & -1 & 1 \cr 1 & 0 & 1\cr 2 & 1 & 0\end{bmatrix} \ast \begin{bmatrix} x\cr y\cr z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\cr 0\cr 0\end{bmatrix}}\)

Teraz dodaje trzeci wiersz do pierwszego \(\displaystyle{ ( W_{1} = W_{1} + W_{3})}\)
Otrzymuje

\(\displaystyle{ \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 1 & 0 & 1\cr 2 & 1 & 0\end{bmatrix} \ast \begin{bmatrix} x\cr y\cr z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\cr 0\cr 0\end{bmatrix}}\)

Zapisując inaczej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+z =0 \implies z=-x\\ x+z=0\\ 2x+y=0 \implies -2x =y\end{cases}}\)

więc za z przyjmuję parametr \(\displaystyle{ z=t}\)
otrzymuję:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+z =0 \implies x=-t\\ x+z=0\\ 2x+y=0\implies y=2t\end{cases}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ kerT=\begin{cases}x\in R , t\ast\begin{bmatrix}-1\\2\\1\end{bmatrix}\end{cases}}\)
Czy to jest poprawnie ?
Jeśli chodzi o drugą część, wyznaczanie \(\displaystyle{ ImT}\) to tu mam już większy problem, napiszę jak zacząłem:
\(\displaystyle{ \begin {bmatrix} -1 & -1 & 1 \cr 1 & 0 & 1\cr 2 & 1 & 0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}}\)
I tu już tak naprawde tylko kombinuje bo nie wiem dokładnie jak to wyliczyć , ale zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ W_{1}=W_{1}+W_{3}\\
\begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 1 & 0 & 1\cr 2 & 1 & 0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}y_{1}+y_{3}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}\\
W_{1}=W_{1}-W_{2}\\
\begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 1\cr 2 & 1 & 0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}y_{1}-y_{2}+y_{3}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}\implies y_{1}=y_{2}-y_{3}}\)


ale dalej nie wiem co i jak... proszę o pomoc
MarcinSzydlowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 27 sie 2010, o 22:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tarnów
Pomógł: 28 razy

Wyznaczyć jądro oraz obraz.

Post autor: MarcinSzydlowski »

1. Wszystko jest ok.
2. Czemu przyrównujesz macierz 3 na 3 do macierzy 3 na 1 ? Przecież one nie mogą być równe.
\(\displaystyle{ \begin{displaymath}\mbox{Im~}f =\{\vec{y}\in V:\exists~ \vec{x}: f(\vec{x})=\vec{y}\}.\end{displaymath}}\)
Z tego co pamiętam, obraz będzie generowany przez wektory będące obrazami wektorów bazowych.
Czyli liczysz \(\displaystyle{ T((0,0,1)), \ T((0,1,0)), \ T((0,0,1))}\) wyniki będą to wektory, których kombinacje linowe wygenerują obraz. Oczywiście wektory te mogę być liniowo zależne dlatego obraz może być płaszczyzną, prostą, ale też całą przestrzenią w przypadku, gdy będą liniowo niezależne.
BcR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 lut 2012, o 19:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Wyznaczyć jądro oraz obraz.

Post autor: BcR »

Mój błąd powinno tam być wg. wzoru z moich notatek z wykładów

\(\displaystyle{ \begin {bmatrix} -1 & -1 & 1 \cr 1 & 0 & 1\cr 2 & 1 & 0\end{bmatrix}\ast \begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}}\)

A tego co napisałeś nie rozumiem więc proszę dokładniej )
MarcinSzydlowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 27 sie 2010, o 22:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tarnów
Pomógł: 28 razy

Wyznaczyć jądro oraz obraz.

Post autor: MarcinSzydlowski »

Obraz jest to pewna podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\), to znaczy może być trój, dwu, jedno lub zero wymiarowa. Jeżeli jest np. dwu wymiarowa to ma bazę złożoną z dwóch wektorów. Za \(\displaystyle{ [x_1, x_2, x_3]}\) podstawiaj wektory bazowe \(\displaystyle{ (0,0,1), (0,1,0), (0,0,1)}\)wyjdą ci trzy różne wektory \(\displaystyle{ y^1= [y_1^1,y_2^1,y_3^1]; y^2= [y_1^2,y_2^2,y_3^2]; y^3 =[y_1^3,y_2^3,y_3^3]}\), których kombinacje linowe generują obraz odwzorowania. \(\displaystyle{ ImT= \left\{ \alpha *y^1+ \beta *y^2+ \gamma*y^3, \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \in R \right\}}\). Teraz musisz sprawdzić czy wektory \(\displaystyle{ y^1, y^2, y^3}\) są liniowo niezależne licząc wyznacznik macierzy 3x3 pisząc wektory \(\displaystyle{ y^1 , \ y^2 , \ y^3}\) obok siebie pionowo albo poziomo . Jeżeli ten wyznacznik macierzy 3x3 nie jest zerem to obraz jest całą przestrzenią \(\displaystyle{ R^3}\), jeżeli natomiast jest zerem, to wystarczą co najwyżej dwa generatory tego obrazu (to znaczy że wymiar obrazu jest co najwyżej dwa). Aby sprawdzić, które z wektorów \(\displaystyle{ y^1, y^2,}\) czy \(\displaystyle{ y^3}\) są generatorami musisz policzyć rząd macierzy 3x3. Robisz to wybierając macierze kwadratowe 2x2 z macierzy 3x3 i jeżeli którakolwiek taka macierz ma wyznacznik niezerowy to rząd jest dwa, jeżeli natomiast wszystkie macierze mają wyznacznik zerowy, to rząd jest co najwyżej jeden. Przypuśćmy że znalazłeś macierz 2x2 z niezerowym wyznacznikiem wtedy, cały obraz będzie generowany przez dwa wektory ( te których współrzędne były w macierzy kwadratowej 2x2 o niezerowym wyznaczniku). Wymiar obrazu wynosić będzie dwa a jego bazą będą np. te dwa wektory.
BcR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 lut 2012, o 19:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Wyznaczyć jądro oraz obraz.

Post autor: BcR »

to już jest chyba nie na moją wiedzę, w miarę rozumiem ale nie umiem obliczyć xD jutro egzamin, trzeba walczyć, dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ