Baza ortogonalna podprzestrzeni.

Kalumniatoris · Post autor: **Kalumniatoris** » 19 lut 2012, o 16:51

Witam, mam problem z pewnym zadaniem, przykro mi to pisać ale nie rozumiem tego zagadnienia.

Wyznaczyć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ V = L( (1,1,1,-1),(1,1,-1,1),(1,-1,-1,1),(3,1,-1,1),(1,1,0,0))}\)(przestrzeni\(\displaystyle{ R^{4}}\) ze standardowym iloczynem skalarnym). Następnie, ze wskazanej bazy, metodą Grama-Shmidta utworzyć bazę ortogonalną podprzestrzeni V.

Najpierw wpisałem kolumnowo wektory do macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&3&1\\1&1&-1&1&1\\1&-1&-1&-1&0\\-1&1&1&1&0\end{bmatrix}}\) potem przy użyciu operacji elementarnych na kolumnach udaje mi się doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & -2 & 0 & 0\cr 0 & -2 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 4 & 0\end{bmatrix}}\)
Z tego wychodzi że jedną z baz danej podprzestrzeni są wektory: \(\displaystyle{ ((1,0,0,0),(0,0,-2,0),(0,-2,0,0),(0,0,0,4))}\).

W tym miejscu moje pomysły na temat tego zadania się urywają, tworzenia bazy ortogonalnej nie rozumiem.

Pozdrawiam

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 19 lut 2012, o 18:35

Zauważ, że Twoja baza jest już ortogonalna (o ile jest dobrze policzona).

Kalumniatoris · Post autor: **Kalumniatoris** » 19 lut 2012, o 19:12

Czyli, próbując wyznaczyć bazę, przypadkiem wyznaczyłem ortogonalną nawet o tym nie wiedząc. Muszę więcej poczytać na ten temat. Zostaje tylko pytanie czy dobrze policzyłem, gdyż baza, która mi wyszła mogłaby według mnie być bazą dla dowolnych wektorów w \(\displaystyle{ R^4}\)-- 19 lut 2012, o 19:15 --

miki999 · Post autor: **miki999** » 19 lut 2012, o 19:25

Zostaje tylko pytanie czy dobrze policzyłem, gdyż baza, która mi wyszła mogłaby według mnie być bazą dla dowolnych wektorów w \(\displaystyle{ R^4}\)

No bo to jest baza \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\). W ten sposób otrzymałeś bazę ortogonalną (bo wektory są prostopadłe). Aby baza była ortonormalna, należałoby jeszcze każdy z wektorów podzielić przez jego długość, w wyniku czego otrzymałbyś klasyczny zbiór wersorów \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).

Jednak Twoim zadaniem było zastosowanie algorytmu Grama-Schmidta, który przedstawia sposób w jaki tę bazę masz otrzymać. Niestety tego nie uczyniłeś :/

Kalumniatoris · Post autor: **Kalumniatoris** » 19 lut 2012, o 20:34

Dlatego trochę mnie niepokoi, iż wykonując pierwszą część zadania (wyznaczyć bazę) otrzymałem bazę ortogonalną. Wygląda mi na to, że powinienem uzyskać inną bazę, a z niej dopiero przejść do postaci ortogonalnej. Chyba, że nie rozumiem założeń tego tematu, co jest bardziej prawdopodobne.

miki999 · Post autor: **miki999** » 19 lut 2012, o 22:03

W sumie masz rację, bo najpierw musisz mieć jakąkolwiek bazę, by bawić się w ortogonalizację, więc w zasadzie nie ma co robić.