Polecenie: Wyznacz bazę i wymiar przestrzeni liniowej.
\(\displaystyle{ V=\left\{[x,y,z,t] \in \mathbb R^{4} : x+2y-z+t=x+y=x-y+t\right\}}\)
Jak się za to zabrać? Kompletnie nie mam pojęcia. Proszę o jakieś wskazówki.
Wyznaczenie bazy i wymiaru przestrzeni liniowej
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wyznaczenie bazy i wymiaru przestrzeni liniowej
Jakby nie patrzeć: \(\displaystyle{ x+2y-z+t=x+y=x-y+t}\) jest tożsame układowi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y-z+t=x+y\\x+2y-z+t=x-y+t\end{cases}}\)
Mam nadzieję, że da Ci to pewien punkt zaczepienia.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y-z+t=x+y\\x+2y-z+t=x-y+t\end{cases}}\)
Mam nadzieję, że da Ci to pewien punkt zaczepienia.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
Wyznaczenie bazy i wymiaru przestrzeni liniowej
Biorą odpowiednie kawałki tego równania:
1i2 otrzymujesz: y-z+t=0,
1i3 3y-z=0,
2 i 3 2y-t=0.
To równanie jest równoważne układowi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y-z+t=0\\3y-z=0\\2y-t=0\end{cases}}\)
Jest to jednorodny układ równań liniowych. Jego macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&-1&1 \\0&3&-1&0 \\0&2&0&-1 \end{array}\right]}\)
Wszystkie rozwiązania układu stanowią jądro odwzorowania liniowego z podaną macierzą.Ker(f)
Zgodnie z twierdzeniem dim X= dim Ker(f) + dim Im(f),
\(\displaystyle{ dimX=dim R^4=4}\)
wymiar obrazu dim Im(f)= Rząd macierzy A=2, więc dim Ker(f)=4-2=2.
Więc wymiar tej przestrzeni wynosi 2.
Rozwiązując ten układ :
\(\displaystyle{ x \in R, \ y= \frac{1}{2}t, \ z=3y= \frac{3}{2}t}\)
Każde rozwiązanie ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x \\ \\ \frac{1}{2}t\\ \\ \frac{3}{2}t \\ \\t\end{array}\right]}\)
Bazą tej przestrzeni są wektory:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\0 \\0 \end{array}\right] \ \ \left[\begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\1 \end{array}\right]}\)
Pierwszy wektor daje nam współrzędną x, a drugi pozostałe.
Pozdrawiam.
1i2 otrzymujesz: y-z+t=0,
1i3 3y-z=0,
2 i 3 2y-t=0.
To równanie jest równoważne układowi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y-z+t=0\\3y-z=0\\2y-t=0\end{cases}}\)
Jest to jednorodny układ równań liniowych. Jego macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&-1&1 \\0&3&-1&0 \\0&2&0&-1 \end{array}\right]}\)
Wszystkie rozwiązania układu stanowią jądro odwzorowania liniowego z podaną macierzą.Ker(f)
Zgodnie z twierdzeniem dim X= dim Ker(f) + dim Im(f),
\(\displaystyle{ dimX=dim R^4=4}\)
wymiar obrazu dim Im(f)= Rząd macierzy A=2, więc dim Ker(f)=4-2=2.
Więc wymiar tej przestrzeni wynosi 2.
Rozwiązując ten układ :
\(\displaystyle{ x \in R, \ y= \frac{1}{2}t, \ z=3y= \frac{3}{2}t}\)
Każde rozwiązanie ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x \\ \\ \frac{1}{2}t\\ \\ \frac{3}{2}t \\ \\t\end{array}\right]}\)
Bazą tej przestrzeni są wektory:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\0 \\0 \end{array}\right] \ \ \left[\begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\1 \end{array}\right]}\)
Pierwszy wektor daje nam współrzędną x, a drugi pozostałe.
Pozdrawiam.