Wyznaczenie bazy i wymiaru przestrzeni liniowej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
DawidG3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 9 lis 2011, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 8 razy

Wyznaczenie bazy i wymiaru przestrzeni liniowej

Post autor: DawidG3 »

Polecenie: Wyznacz bazę i wymiar przestrzeni liniowej.
\(\displaystyle{ V=\left\{[x,y,z,t] \in \mathbb R^{4} : x+2y-z+t=x+y=x-y+t\right\}}\)
Jak się za to zabrać? Kompletnie nie mam pojęcia. Proszę o jakieś wskazówki.
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wyznaczenie bazy i wymiaru przestrzeni liniowej

Post autor: miki999 »

Jakby nie patrzeć: \(\displaystyle{ x+2y-z+t=x+y=x-y+t}\) jest tożsame układowi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y-z+t=x+y\\x+2y-z+t=x-y+t\end{cases}}\)

Mam nadzieję, że da Ci to pewien punkt zaczepienia.


Pozdrawiam.
Marmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 36 razy

Wyznaczenie bazy i wymiaru przestrzeni liniowej

Post autor: Marmat »

Biorą odpowiednie kawałki tego równania:
1i2 otrzymujesz: y-z+t=0,
1i3 3y-z=0,
2 i 3 2y-t=0.
To równanie jest równoważne układowi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y-z+t=0\\3y-z=0\\2y-t=0\end{cases}}\)
Jest to jednorodny układ równań liniowych. Jego macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&-1&1 \\0&3&-1&0 \\0&2&0&-1 \end{array}\right]}\)
Wszystkie rozwiązania układu stanowią jądro odwzorowania liniowego z podaną macierzą.Ker(f)
Zgodnie z twierdzeniem dim X= dim Ker(f) + dim Im(f),
\(\displaystyle{ dimX=dim R^4=4}\)
wymiar obrazu dim Im(f)= Rząd macierzy A=2, więc dim Ker(f)=4-2=2.
Więc wymiar tej przestrzeni wynosi 2.
Rozwiązując ten układ :
\(\displaystyle{ x \in R, \ y= \frac{1}{2}t, \ z=3y= \frac{3}{2}t}\)
Każde rozwiązanie ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x \\ \\ \frac{1}{2}t\\ \\ \frac{3}{2}t \\ \\t\end{array}\right]}\)
Bazą tej przestrzeni są wektory:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\0 \\0 \end{array}\right] \ \ \left[\begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\1 \end{array}\right]}\)
Pierwszy wektor daje nam współrzędną x, a drugi pozostałe.
Pozdrawiam.
DawidG3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 9 lis 2011, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 8 razy

Wyznaczenie bazy i wymiaru przestrzeni liniowej

Post autor: DawidG3 »

Dziękuję za pomoc, zaczynam to rozumieć.
ODPOWIEDZ