Witajcie, ma prośbę, żeby ktoś wyjaśnił mi, w jaki sposób zrobić zadanie typu:
Sprawdź, czy następujący zbiór jest podprzestrzenią w przestrzeni trójwymiarowej:
\(\displaystyle{ A=\left\{(x,y,z): x+y+2z=2 \right\}}\)
Wiem niby, że trzeba sprawdzić, czy dwa dowolne elementy należą do przestrzeni i czy kombinacja liniowa z dowolnym skalarem należy, ale nie umiem tego ubrać w liczby (litery)...
Z tego co pamiętam, na ćwiczeniach (jakieś 2 miesiące temu) sprawdzaliśmy to jednym warunkiem
\(\displaystyle{ \alpha_1 \cdot v_1+\alpha_2 \cdot v_2=V}\)
Sprawdzić które ze zbiorów są podprzestrzeniami
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
Sprawdzić które ze zbiorów są podprzestrzeniami
\(\displaystyle{ A=\left\{(x,y,z): x+y+2z=2 \right\}}\)
niech \(\displaystyle{ \vec{v_1} ,\ \vec{v_2} \ \in A, \ \alpha \ , \ \beta \in R}\)
\(\displaystyle{ \vec{v_1}=[x_1,y_1,z_1] \ \ x_1+2y_1+2z_1=2 \\
\vec{v_2}=[x_2,y_2,z_2] \ \ x_2+2y_2+2z_2=2 \\
\alpha \vec{v_1}+ \beta \vec{v_2}=[ \alpha x_1+ \beta x_2, \alpha y_1+ \beta y_2 , \alpha z_1+ \beta z_2]}\)
Sprawdzamy czy ten wektor należy do zbioru A.
\(\displaystyle{ \alpha x_1+ \beta x_2+2( \alpha y_1+ \beta y_2 )+2(\alpha z_1+ \beta z_2)=}\)
\(\displaystyle{ \alpha (x_1+2y_1+2z_1)+ \beta (x_2+2y_2+2z_2)=2 \alpha +2 \beta}\)
wyrażenie to dla dowolnych współczynników nie musi przyjmować wartości 2.
Zbiór A nie jest podprzestrzenią.
Jeszcze inaczej (prościej).
Wektor zerowy (0,0,0) musi należeć do podprzestrzeni. Nie należy on do zbioru A.
Pozdrawiam.
niech \(\displaystyle{ \vec{v_1} ,\ \vec{v_2} \ \in A, \ \alpha \ , \ \beta \in R}\)
\(\displaystyle{ \vec{v_1}=[x_1,y_1,z_1] \ \ x_1+2y_1+2z_1=2 \\
\vec{v_2}=[x_2,y_2,z_2] \ \ x_2+2y_2+2z_2=2 \\
\alpha \vec{v_1}+ \beta \vec{v_2}=[ \alpha x_1+ \beta x_2, \alpha y_1+ \beta y_2 , \alpha z_1+ \beta z_2]}\)
Sprawdzamy czy ten wektor należy do zbioru A.
\(\displaystyle{ \alpha x_1+ \beta x_2+2( \alpha y_1+ \beta y_2 )+2(\alpha z_1+ \beta z_2)=}\)
\(\displaystyle{ \alpha (x_1+2y_1+2z_1)+ \beta (x_2+2y_2+2z_2)=2 \alpha +2 \beta}\)
wyrażenie to dla dowolnych współczynników nie musi przyjmować wartości 2.
Zbiór A nie jest podprzestrzenią.
Jeszcze inaczej (prościej).
Wektor zerowy (0,0,0) musi należeć do podprzestrzeni. Nie należy on do zbioru A.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 27 paź 2010, o 19:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 5 razy
Sprawdzić które ze zbiorów są podprzestrzeniami
Czemu tam mnożysz 2y? Czyli wystarczyło sprawdzić, że (0,0,0) nie należy i to wystarczy, żeby go odrzucić?
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
Sprawdzić które ze zbiorów są podprzestrzeniami
Przepraszam pomyliłem się, nie powinno być mnożone y przez 2.
Ten warunek sprawdzałem, żeby sprawdzić warunek na podprzestrzeń.
Ale podprzestrzeń wektorowa musi spełniać aksjomaty przestrzeni, więc wystarczy pokazać, że wektor zerowy nie należy do zbioru A.
pozdrawiam.
Ten warunek sprawdzałem, żeby sprawdzić warunek na podprzestrzeń.
Ale podprzestrzeń wektorowa musi spełniać aksjomaty przestrzeni, więc wystarczy pokazać, że wektor zerowy nie należy do zbioru A.
pozdrawiam.