Wykazać, że macierz jest diagonalizowalna

[Pendulum]

Zadanie wygląda tak:

Wykazać, że macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-2&2\\2&0&2\\-1&1&1\end{array}\right]}\) jest diagonalizowalna. Znaleźć macierz diagonalną \(\displaystyle{ D}\) i nieosobliwą \(\displaystyle{ P}\), takie, że \(\displaystyle{ D = P^{-1}AP}\).

Wyliczyłem wartości własne, które wynoszą \(\displaystyle{ \lambda = 1, \lambda = 2}\).

I podstawiając do macierzy uzyskuje dwa układy równań:

Dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}3x - 2y + 2z = 0 \\ 2x - y + 2z = 0 \\ -x + y = 0\end{cases}}\)

I uzyskuje, że \(\displaystyle{ y=x, z = \frac{x}{2}}\), więc pierwszy wektor osobliwy wynosi \(\displaystyle{ \left( x,x, \frac{x}{2} \right)}\) i ma wymiar 1.

Dla \(\displaystyle{ \lambda = 2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x - 2y + 2z = 0 \\ 2x - 2y + 2z = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -x + y - z = 0}\)
Dwa pierwsze równania się upraszczają, a korzystając z trzeciego otrzymuje wektor osobliwy \(\displaystyle{ (x,y,-x+y)}\), który ma wymiar dwa.

I co powinienem dalej zrobić, aby wykazać, że jest diagonalizowalna i co powinienem robić w dalszej kolejności, by rozwiązać zadanie?