Przestrzeń funkcyjna. Czy dany zbiór jest podprzestrzenią?

[donmaciej]

Które z następujacych podzbiorów przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ F\mathbb{(R,R)}}\) są jej podprzestrzeniami: \(\displaystyle{ A=\left\{ f: f(2)=f(7) \right\} , B=\left\{ f: f(7)=2+f(1)\right\}, C=\left\{ f: f(x _{0}) = 3\right\}}\) ?

Chciałbym aby ktoś wytłumaczył mi jak zabierać się za takie zadanie gdy mamy do czynienia z przestrzenią funkcyjną. Jestem wdzięczny za każdą pomoc.

[lukasz1804]

Wystarczy sprawdzić, czy dowolna kombinacja dwóch funkcji z jednego ze zbiorów (kombinacja liniowa o współczynnikach rzeczywistych) też jest elementem tego zbioru.

[donmaciej]

Tyle wiem, w końcu to definicja podprzestrzeni, pytanie tylko jak do tego podejść mając funkcje.

[Kmitah]

\(\displaystyle{ C}\) nie jest podprzestrzenią liniową zadanej przestrzeni, gdyż \(\displaystyle{ (f+g)(x_0)= f(x_0) + g(x_0) = 3 + 3 = 6 \neq 3}\), tzn. zbiór \(\displaystyle{ C}\) nie jest zamknięty, ze względu na dodawanie funkcji, tj. suma funkcji należących do tego zbioru, nie należy do niego.

\(\displaystyle{ B}\) również nie jest przestrzenią liniową (a zatem i podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ F}\)), gdyż zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie jest zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar: dla funkcji \(\displaystyle{ \lambda f}\), mamy \(\displaystyle{ \lambda f(7) = \lambda (2 + f(1)) \neq 2 + \lambda f(1)}\), w ogólności.

Natomiast \(\displaystyle{ A}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ F}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ f, g \in A}\), to \(\displaystyle{ f(2)=f(7)}\) i \(\displaystyle{ g(2)=g(7)}\), więc \(\displaystyle{ f(2) + g(2) = f(7) + g(7)}\), czyli \(\displaystyle{ (f+g)(2)= (f+g)(7)}\). Poza tym, skoro \(\displaystyle{ f(2) = f(7)}\), to i \(\displaystyle{ \lambda f(2) = \lambda f(7)}\), czyli \(\displaystyle{ \lambda f \in A}\).

Wiem, że tłumaczyłem "na szybko" i mało formalnie, ale mam nadzieję, że da się zrozumieć istotę.

[donmaciej]

Jak najbardziej się da. Dziękuję za pomoc.