Czy zbiór A jest podprzestrzenią przestrzeni wielomianów?

[donmaciej]

Sprawdzić czy zbiór \(\displaystyle{ A = \left\{ w : w(0)w(1) = 0\right\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni wielomianów nad ciałem \(\displaystyle{ R}\).

[MarcinSzydlowski]

To zależy, od tego czym jest \(\displaystyle{ w}\) jeżeli \(\displaystyle{ w}\) jest wielomianem, to jak najbardziej może być, ale nie musi . Jeżeli natomiast \(\displaystyle{ w}\) jest dowolną funkcją, to nie np. \(\displaystyle{ w(x)= \sqrt{x} \in A}\)

[donmaciej]

Tak \(\displaystyle{ w}\) jest wielomianem. Jak więc formalnie sprawdzić, że istotnie ten zbiór jest podprzestrzenią?

[Marmat]

Ten zbiór nie jest podprzestrzenią przestrzeni wielomianów nad ciałem R.
Aby był musi zachodzić warunek:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{w,s\in A}w+s \in A}\)
Weźmy dwa wielomiany:
\(\displaystyle{ w(x)=x^2+3x \ \ w(1)w(0)=4*0=0 \\
s(x)=x^2-1 \ \ s(1)s(0)=0*(-1)=0 \\
(w+s)(x)=2x^2+3x-1 \ \ (w+s)(1)(w+s)(0)=4*(-1)=-4 \neq 0 \\
w+s \not\in A}\)
Więc A nie może być podprzestrzenią.
Pozdrawiam.