Liniowa niezależność kolumn w macierzy 4x4.

[s1k0rr]

Witam, mam pytanie, czy w macierzy 4x4 w której wektory są reprezentowane przez jej kolumny stwierdzę, że jej rząd wynosi 3 to moge też powiedzieć, że co najmniej 3 wektory układu są liniowo niezależne? I czy istnieje jakaś metoda różna od układu równań dzięki której moge stwierdzić, że np macierz 4x3 posiada komplet wektorów neizależnych? Z góry dziękuję za pomoc

[schloss]

jeżeli rząd wynosi 3 to dokładnie 3 wektory są liniowo niezależne.

nie wiem, dlaczego mówisz o metodzie różnej od "układu równań".
rząd sprawdza się tzw. Eliminacją Gaussa. są określone zależności, mówiące np że jeżeli wymiar bazy przestrzeni kolumnowej wynosi x to jest to właśnie rząd macierzy. jeżeli macierz jest niepełnego rzędu to jej wyróżnik jest równy zeru i to chyba byłoby na tyle.-- 14 lut 2012, o 23:11 --oczywiście jeżeli trzy kolumny są liniowo niezależne to też trzy wersy są liniowo niezależne (rzędy)

[s1k0rr]

więc jeszcze jedno pytanie, co zrobić jeżeli w macierzy 4x4 podczas stosowania metody eliminacji Gaussa wiersz 3 się zzeruje, a pozostaje jeszcze 4? Wtedy go wykreślamy (3) i zastępujemy 4 przez co stwierdzamy, ze było on liniowo zależny i, że rząd macierzy jest równy 3? Czy idąc za tym gdy stwierdzimy, że owy 3 wiersz był liniowo zależny możemy to samo powiedziec o 3 kolumnie

i co nalezy rozumiec poprzez stwierdzenie:
-układ równań Ax=0 posiada rozwiązanie?

[schloss]

jeżeli trzeci wiersz się zeruje a np wiersz drugi ma element osiowy (nie zerował się) to wiersz czwarty licz tak, jakby był trzecim.
z macierzy niczego nie wykreślaj.
patrz na kolumny. wierszami się nie interesuj. jeżeli koniecznie musisz to zrób sobie transpozycję i zajmuj się znowu kolmunami z tymże to już będą teraz wiersze tej macierzy sprzed transpozycji.
mówi się: kolumna z elementem osiowym (pivot column) oraz kolumna wolna(free column),( sorry że z angielska ale uczyłem się tego po angielsku z wygładów Gilberta Stranga na ocw.mit.edu oraz z jego książki.
i jak masz tak że dajmy na to masz macierz 3x4 i pierwsza i trzecia kolumna są osiowe to po transpozycji okaże się że też pierwsza i trzecia kolumna są osiowe.
jeżeli układ Ax=0 ma rozwiązanie będące różne od wektora zerowego to znaczy, że macierz jest niepełnego rzędu kolumnowego, bo można dobrać taką kombinację jej kolumn że po zsumowaniu da ona wektor zerowy. patrząc dalej: przestrzeń zerowa macierzy A składa się z właśnie tych rozwiązań. rozwiązań tych jest tyle, ile wolnych kolumn. wymiar przestrzeni zerowej macierzy A (dimN(A)) jest równy n-r gdzie n-liczba wszystkich kolumn macierzy, r- rząd macierzy.