Układ równań

Matii91 · Post autor: **Matii91** » 14 lut 2012, o 21:34

Chciałbym się dowiedzieć jak się zabrać za liczenie takiego układu równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x-3y-2z-4n=9\\6x-9y+z+2n=13\\4x-6y+z-n=14\\2x-3y-4z+5n=-13 \end{array}}\)

Wiem, że można to liczyć wzorami Cramera, ale w ten sposób każde zadanie zajęłoby mi dużo czasu. Wiem, że można to robić jakoś z macierzy jednostkowej (x,y,z), a potem w miejscu n, pomieniamy te liczby jako parametr 't' czy jakoś tak. Właśnie nie wiem do końca jak to trzeba poprawnie wykonać dlatego piszę z prośbą do was. Czy ktoś mógłby po kolei napisać co powinienem robić zeby dojść do rozwiązania? Nie proszę o zrobienie przykładu tylko o wskazówki. Z góry dzięki.

legier · Post autor: **legier** » 14 lut 2012, o 22:36

Według mnie rozwiązywanie układów równań 1 stopnia o liczbie niewiadomych większej niż 2 jest najłatwiejsze właśnie metodą wyznaczników. Zawsze ją stosuję i nie zabiera mi sporo czasu.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 14 lut 2012, o 23:54

legier pisze:Według mnie rozwiązywanie układów równań 1 stopnia o liczbie niewiadomych większej niż 2 jest najłatwiejsze właśnie metodą wyznaczników. Zawsze ją stosuję i nie zabiera mi sporo czasu.

Wątpię. W tym przypadku trzeba by było obliczyć pięć wyznaczników czwartego stopnia, co 1) zajmuje trochę czasu, 2) łatwo się pomylić i, co najważniejsze 3) nie gwarantuje uzyskania rozwiązania. Najłatwiejsza i o wiele mniej czasochłonna jest metoda eliminacji Gaussa. Wystarczy to (metoda eliminacji Gaussa) wpisać w wyszukiwarce, a znajdzie się multum przykładów.

Matii91 · Post autor: **Matii91** » 15 lut 2012, o 09:09

Coś mi tu nie wychodzi ponieważ zgodnie z zaleceniem zacząłem robić macierz schodkową i wyszło mi, że rząd jest równy 1.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x-3y-2z-4n=9\\6x-9y+z+2n=13\\4x-6y+z-n=14\\2x-3y-4z+5n=-13 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ W_{4}'=W_{4}-W_{1} \\ W_{2}'=W_{2}-3W_{1} \\W_{3}'=W_{3}-2W_{1}}\)

I wyszła macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-3&-2&-4&9\\0&0&7&14&-14\\0&0&5&7&-4\\0&0&-2&9&-22\end{bmatrix}}\)

Dalej już nic z tą macierzą nie zrobię. Teraz z tego co wyczytałem na wiki, powinienem sprawdzić rząd macierzy rozszerzonej (czyli te wyniki równań), nie bardzo wiem co jak to zrobić i co mi to da.

Prosiłbym o pomoc bo utknąłem

JankoS · Post autor: **JankoS** » 15 lut 2012, o 13:27

Dzielę drugi wiersz przez 2 i dostaję:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-3&-2&-4&9\\0&0&1&2&-2\\0&0&5&7&-4\\0&0&-2&9&-22\end{bmatrix}}\) i w następnym kroku \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-3&-2&-4&9\\0&0&1&2&-2\\0&0&0&-3&6\\0&0&0&-13&26\end{bmatrix}}\). Teraz dzielę trzeci przez -3, czwarty przez -13 i dodaję do czwartego trzeci pomnożony przez -1. W czwartym wierszu są same zera więc mogę go opuścić. mam macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-3&-2&-4&9\\0&0&1&2&-2\\0&0&0&1&-2\end{bmatrix}}\).
I dalej. Z ostatniego \(\displaystyle{ n=-2}\). Stąd i z drugiego \(\displaystyle{ y=2}\) i dalej \(\displaystyle{ x= \frac{3y+5}{2}}\).