baza przestrzeni rozwiazan

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
motorider
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 12 lut 2007, o 10:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 4 razy

baza przestrzeni rozwiazan

Post autor: motorider »

Czy z wektorów [1, 1, 1, 1], [1, -1, 0, 0], [3, -1, 1, 1], [-2, 4, 1, 1] da się wybrać bazę przestrzeni rozwiązań równań x+y-z-t=0? Odpowiedź uzasadnić

Czy ktos moze rozwiazac? Mile widzane wyjasnienie jak to policzyc.
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

baza przestrzeni rozwiazan

Post autor: kuch2r »

Wyznaczmy baze przestrzeni:
\(\displaystyle{ x+y-z-t=0}\)
Podstawmy sobie odpowiednio za \(\displaystyle{ y,z,t}\) parametry \(\displaystyle{ p,q,r}\) takie, ze \(\displaystyle{ p,q,r\in R}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ x+p-q-r=0\Rightarrow x=-p+q+r}\)
Stad,rozwiazaniem naszego rownania jest nastepujaca czworka:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-p+q+r\\y=p\\x=q\\t=r\end{cases}}\)
Ponadto, kazdy wektor o skladowych \(\displaystyle{ (-p+q+r,p,q,r)}\) bedzie rozwiazaniem tego rownania. Nasz wektor mozna zapisac w postaci liniowej kombinacji:
\(\displaystyle{ (-p+q+r,p,q,r)=(-p,p,0,0)+(q,0,q,0)+(r,0,0,r)=p(-1,1,0,0)+q(1,0,1,0)+r(1,0,0,1)}\)
Powstale wektory \(\displaystyle{ (-1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1)}\) sa liniowo niezalezne zatem tworza baze przestrzeni.
Ostatnio zmieniony 12 lut 2007, o 14:10 przez kuch2r, łącznie zmieniany 1 raz.
motorider
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 12 lut 2007, o 10:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 4 razy

baza przestrzeni rozwiazan

Post autor: motorider »

Czy mozesz zrobic te zadanie do konca?
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

baza przestrzeni rozwiazan

Post autor: kuch2r »

Czy z wektorow ..... mozna wybrac baze przestrzeni. Odpowiedz brzmi: tak.
Poniewaz:
\(\displaystyle{ (1,1,1,1)=(-1,1,0,0)+(1,0,1,0)+(1,0,0,1)\\(1,-1,0,0)=(-1)\cdot (-1,1,0,0)\\(3,-1,1,1)=(-1)\cdot(-1,1,0,0)+(1,0,1,0)+(1,0,0,1)}\)
ODPOWIEDZ