Wartości parametru dla których macierz jest diagonalizowalna

[charlesmat]

Czy ma ktoś pomysł jak rozwiązać takie zadanie?

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a \in R}\) , dla których macierz \(\displaystyle{ A= \[ \left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1- a^{2} \\
1 & 0 & 1+ a^{2} \\
0 & 1 & -1 \end{array} \right)\]}\) jest diagonalizowalna?

[miodzio1988]

Kiedy macierz jest diagonalizowalna?

[charlesmat]

Jeśli jest podobna do macierzy diagonalnej lub jesli wielomian charakterystyczny ma 3 pierwiastki , i dla każdej wartości własnej możemy wybrać tyle wektorów własnych ile wynosi krotność tej wartości jaki pierwiastka wielomianu.

[miodzio1988]

No ok. To policz np wielomian charakterystyczny tej macierzy

[charlesmat]

\(\displaystyle{ -\lambda ^{3} -\lambda ^{2} +(1+a ^{2})\lambda+1-a ^{2} =0}\)

[Qń]

charlesmat - wielomian wyszedł paskudny, więc z praktycznego punktu widzenia są dwie opcje: albo jest totalna mogiła, albo przypadkiem ten wielomian ma jakiś sensowny pierwiastek.

Na szczęście zachodzi opcja druga - wielomian da się zapisać jako:
\(\displaystyle{ -(\lambda - (a-1)) ( \lambda^2 +a\lambda -a-1)}\)

Wystarczy teraz przeprowadzić dyskusję rozwiązań:
- najpierw sprawdź kiedy \(\displaystyle{ a-1}\) jest pierwiastkiem trójmianu z prawej i wtedy na pewno da się ręcznie sprawdzić diagonalizowalność (bo takich \(\displaystyle{ a}\) wyjdą co najwyżej dwa);
- dla pozostałych \(\displaystyle{ a}\) sprawdź kiedy trójmian ma dwa pierwiastki (wtedy na pewno jest ok), kiedy nie ma w ogóle pierwiastków (wtedy na pewno jest nie ok) oraz kiedy ma pierwiastek podwójny (wtedy trzeba sprawdzić ręcznie).

Q.

[charlesmat]

Ok, dziękuję. Jeśli chodzi o ten pierwiastek wielomianu to zgadłeś go a później dzieliłeś wielomian?

[Qń]

Dokładnie tak. Zgadywanie zacząłem od liczb postaci \(\displaystyle{ \pm 1 \pm a}\), bo to coś w rodzaju "dzielników wyrazów wolnego". No i udało się trafić .

Q.