Sprawdzenie... z wektorów...

[UserCris]

Witam
Czy mógłby ktoś sprawdzić i potwierdzić mój "wynik"

Mamy wektory:
\(\displaystyle{ u_{1}=(1,2,3) u_{2}=(0,1,1) u_{3}=(3,7,10)}\)
wówczas \(\displaystyle{ u_{1}}\) i \(\displaystyle{ u_{2}}\) stanowią bazę w \(\displaystyle{ R^{3}}\)

Moim zdaniem to jest fałsz

[kuch2r]

Zdanie jest falszywe, bo jesli \(\displaystyle{ u_1,u_2}\) stanowilyby baze w \(\displaystyle{ R^3}\), oznaczaloby to ze za pomoca liniowej kombinacji tych 2 wektorow mozna otrzymac kazdy wektor z \(\displaystyle{ R^3}\). Tak oczywiscie nie jest. Przyklad:
\(\displaystyle{ (0,0,1)}\)

[UserCris]

Dziękuję...
Czy dałoby radę jeszcze ten przykład sprawdzić...

Dane są wektory \(\displaystyle{ u=(7,-2,3) u_{1}=(1,0,1) u_{2}=(-2,1,0) u_{3}=(0,1,2)}\)
1) Wektory \(\displaystyle{ u_{1} u_{2} u_{3}}\) stanowią bazę w \(\displaystyle{ R^{3}}\) FAŁSZ
2) Wektor \(\displaystyle{ u}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ u_{1} u_{2} u_{3}}\) PRAWDA

[yorgin]

1)Wektory są liniowo niezależne gdy ich wyznacznik jest niezerowy:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\-2&1&0\\ 0&1&2\end{array}\right|=2-2=0}\) więc jest to układ wektorów liniowo zależnych stąd \(\displaystyle{ u_1,u_2,u_3}\) nie są bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)
2)Aby tak było, musi zajśc:
\(\displaystyle{ a(1,0,1)+b(-2,1,0)+c(0,1,2)=(7,-2,3)\\}\)
Stąd mamy taki układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a-2b=7\\b+c=-2\\a+2c=3\end{array}}\)
którego rozwiązywalność oznacza, czy dany wektor jest kombinacją liniową pozostałych, czy nie.
Układ ten spełnia trójka:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a=1\\b=-3\\c=1\end{array}}\)
zatem istnieją takie \(\displaystyle{ a,b,c}\) że zachodzi dana równość, stąd dany wektor jest kombinacją liniową pozostałych.