Uklad równań

[czyzol7]

Dany jest układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+4=0 \\ ax+by+c=0 \end{cases}.}\)

Sprawdź czy istnieje \(\displaystyle{ a,b,c}\), które daje rozwiązanie układu równań.

[bemekw]

Mamy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + 2y = -4 \\ ax + by = -c \end{cases}}\)

Obliczamy wyznacznik główny macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&2\\a&b\end{array}\right]}\)
Żeby układ nie był sprzeczny, wyznacznik tej macierzy musi być różny od zera, tj:
\(\displaystyle{ b - 2a \neq 0 \Rightarrow b \neq 2a}\)

Czyli układ jest sprzeczny wtw, gdy \(\displaystyle{ b = 2a}\). Dla pozostałych parametrów układ jest oznaczy (ma dokładnie jedno rozwiązanie) lub jest nieoznaczony(ma wiele rozwiązań)

Jeżeli układ ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, należy przeprowadzić kilka dodatkowych operacji:

\(\displaystyle{ W_y = \left[\begin{array}{cc}1&-4\\a&c\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ W_y \neq 0 \Rightarrow c + 4a \neq 0 \Rightarrow c \neq -4}\)

\(\displaystyle{ W_x = \left[\begin{array}{cc}-4&2\\c&b\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ W_x \neq 0 \Rightarrow -4b - 2c \neq 0 \Rightarrow b \neq -0,5c}\)

Tak więc zbiór trójek \(\displaystyle{ \{ \langle a,b,c \rangle \in \mathbb{R}^3 | b \neq 2a \wedge c \neq -4a \wedge b \neq -0,5c \}}\) jest zbiorem takich \(\displaystyle{ a,b,c}\) dla których układ ma jednoznaczne rozwiąznie.

Uwaga: chyba nie zrozumialem również treści - jeśli chodzi o to, żeby znaleźć takie \(\displaystyle{ a,b,c}\) żeby jednocześnie te liczby były rozwiązaniem układu? Jeśli tak, to układamy teraz kolejne układy rówań:

\(\displaystyle{ \frac{W_y}{W} = b}\)

\(\displaystyle{ \frac{W_x}{W} = a}\)

tj:
\(\displaystyle{ \frac{c + 4a}{b - 2a} = b}\)

\(\displaystyle{ \frac{-4b - 2c}{b - 2a} = a}\)

Przy czym należy pamiętać, że \(\displaystyle{ b \neq 2a}\) oraz \(\displaystyle{ a,b \neq 0}\)

[Marmat]

Mamy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + 2y = -4 \\ ax + by = -c \end{cases}}\)
Jeżeli :
\(\displaystyle{ W \neq 0}\) układ jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie.
Jeżeli: \(\displaystyle{ W=0 \ i \ W_x=0 \ i \ W_y=0}\) układ jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Jeżeli: \(\displaystyle{ W=0 \ i \ (W_x \neq 0 \ lub \ W_y \neq 0)}\) układ nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).
\(\displaystyle{ W=\left[\begin{array}{cc}1&2\\a&b\end{array}\right]=b-2a}\)
\(\displaystyle{ W_x=\left[\begin{array}{cc}-4&2\\-c&b\end{array}\right]=-4b+2c}\)
\(\displaystyle{ W_y=\left[\begin{array}{cc}1&-4\\a&-c\end{array}\right]=-c+4a}\)

1. \(\displaystyle{ W \neq 0 \Leftrightarrow b \neq 2a}\) układ jest oznaczony.(ma jedno rozwiązanie).
2.W=0 czyli b=2a
\(\displaystyle{ W_x=-8a+2c \ \ \ W_y=4a-c \\
\ \ \ \ \ \ \ W_x=0 \Leftrightarrow c=4a \ \ W_y=0 \Leftrightarrow c=4a}\)
Czyli gdy b=2a i c=4a układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Gdy b=2a i \(\displaystyle{ c \neq 4a}\) układ jest sprzeczny.
Pozdrawiam.