Eliminacja Gaussa.

[konrad18m]

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&4\\2&-1&1&8\\-1&-1&2&5 \end{bmatrix}}\)

zeruje pierwsza kolumne:


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&4\\0&-3&-1&0\\0&0&3&9\end{bmatrix}}\)

no i tu się gubie. wynik powinien być x=2 y=-1 z=3


dzielę wiersz2 przez minus 3 i wiersz 3 przez 3

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&4\\0&1&0,3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}}\)


tak dla pewnosci, chodzi o to zeby wyzerować pierwszą kolumne i stworzyć przekątną z jedynek?

[bemekw]

Uwaga 1: \(\displaystyle{ 1 : 3 = \frac{1}{3} \neq 0,3}\)
Chodzi o to, żeby doprowadzić macierz do postaci trójkątnej górnej (oraz żeby wyzerować przy okazji jak najwięc wierszy od dołu, oraz zmiennych)
Możesz więce jeszcze trochę uprościć:

\(\displaystyle{ w_1 := w_1 - w_3}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&0&1\\0&1&\frac{1}{3}&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ w_2 := w_2 - \frac{w_3}{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&0&1\\0&1&0&-1\\0&0&1&3\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ w_1 := w_1 - w_2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&3\end{bmatrix}}\)

wynik (jak na tacy):
\(\displaystyle{ z = 3}\)
\(\displaystyle{ y = -1}\)
\(\displaystyle{ x = 2}\)

Czyli zgodnie z odpowiedzią


Teraz rozwiązanie widać jak na tacy

[konrad18m]

dzięki za odpowiedz.

postać trójkątna górna to ta? :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\end{bmatrix}}\)

a jak sie zachować w przypadku macierzy 4x4 ?


a jak zrobiłeś ze wiersz 1 to : 1 1 0 1?

[bemekw]

dzięki za odpowiedz.

postać trójkątna górna to ta? :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\end{bmatrix}}\)

Nie, postać trójkątna to taka, że na przekątnej i nad ma elementy niezerowe, a pod zerowe, tj

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x&x&x\\0&x&x\\0&0&x\end{bmatrix}}\)

Uwaga: eliminacja Gaussa nie doprowadza do pełnej postaci trójkątnej górnej, gdyż jak napisałem - przydatne jest wyzerowanie jak najwięcej wierszy od dołu (czyli taka postać schodkowa). Przydatne jest doprowadzenie do jedynek na przekątnej oraz do jak największej liczby zer również nad przekątną.

a jak sie zachować w przypadku macierzy 4x4 ?

Tak samo. Schemat jest ten sam.

a jak zrobiłeś ze wiersz 1 to : 1 1 0 1?

napisane jest nad macierzą: \(\displaystyle{ w_1 := w_1 - w_3}\) Czyli w ostatniej macierzy co Ty otrzymałeś, odjąłem od pierwszego trzeci wiersz.