1.Niech \(\displaystyle{ T}\) będzie przekształceniem liniowym takim że \(\displaystyle{ T(-1,1)=(3,1)}\) i \(\displaystyle{ T(1,0)=(0,-1)}\) Znaleźć wektory \(\displaystyle{ T(2,1)}\) i \(\displaystyle{ T ^{2} (2,1)}\)
2.Sprawdzić dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) należącego do \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) układ równań
\(\displaystyle{ (1-a)x_{1} + 2 x_2 + x_3 = 0\\
x_1 + (2-a)x_2 + x_3 = 0\\
x_1 + 2 x_2 + (1-a) x_3 = 0\\}\)
ma niezerowe rozwiązania .Znaleźć te rozwiązania
Prosiłbym o rozwiązanie tych zadań albo chociaż o jakieś wskazówki.
przekształcenia liniowe
przekształcenia liniowe
Ostatnio zmieniony 11 lut 2012, o 09:40 przez bartek118, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
bemekw
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 5 razy
przekształcenia liniowe
1. Wiemy, że przekształcenie liniowe jest addytywne, czyli: \(\displaystyle{ f(x) + f(y) = f(x + y)}\)
Korzystając z tego:
\(\displaystyle{ T([-1,1]^T) + T(3 \cdot [1,0]^T) = T([2,1]^T)}\)
Ale przekształcenie liniowe jest również jednorodne więc \(\displaystyle{ f(c \cdot \vec{x}) = c \cdot f(\vec{x})}\)
Więc:
\(\displaystyle{ T([-1,1]^T) + 3 \cdot T([1,0]^T) = T([2,1]^T)}\)
Podstawiasz:
\(\displaystyle{ T([2,1]^T) = [3,1]^T + 3 \cdot [0,1]^T}\) i wyliczasz. Drugie podobnie (przy czym pamiętaj, że \(\displaystyle{ T^2}\) to złożenie tego przekształceniaa, więc trochę wiecej roboty).
2. Podpowiedź: jest to układ 3-równań, więc skorzystaj ze wzorów Cramer'a - najpierw wylicz, dla jakich \(\displaystyle{ a}\) układ ma rozwiązanie oznaczone, a potem wyklucz \(\displaystyle{ a}\) dla których układ ma rozwiązanie równe zero.
Korzystając z tego:
\(\displaystyle{ T([-1,1]^T) + T(3 \cdot [1,0]^T) = T([2,1]^T)}\)
Ale przekształcenie liniowe jest również jednorodne więc \(\displaystyle{ f(c \cdot \vec{x}) = c \cdot f(\vec{x})}\)
Więc:
\(\displaystyle{ T([-1,1]^T) + 3 \cdot T([1,0]^T) = T([2,1]^T)}\)
Podstawiasz:
\(\displaystyle{ T([2,1]^T) = [3,1]^T + 3 \cdot [0,1]^T}\) i wyliczasz. Drugie podobnie (przy czym pamiętaj, że \(\displaystyle{ T^2}\) to złożenie tego przekształceniaa, więc trochę wiecej roboty).
2. Podpowiedź: jest to układ 3-równań, więc skorzystaj ze wzorów Cramer'a - najpierw wylicz, dla jakich \(\displaystyle{ a}\) układ ma rozwiązanie oznaczone, a potem wyklucz \(\displaystyle{ a}\) dla których układ ma rozwiązanie równe zero.