wyznacz rownanie parametryczne prostej przechodzacej przez P (1 2 3) i prostopadłe do płaszczyzny : x=2+2s+2t
y=2 - 2s -t
z= s-t
prosze o pomoc...nie wiem jak zrobic to zadanie a jutro musze sie zmierzyc z geo.anal.
Rownanie prostej
-
aikon
- Użytkownik
- Posty: 450
- Rejestracja: 2 gru 2005, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 48 razy
Rownanie prostej
Skoro prosta jest prostopadła do jakiejś płaszczyzny, to jest równoległa do wektora normalnego tej płaszczyzny.
Z równania które podałaś wynika, że prosta jest rozpięta na dwóch wektorach:
\(\displaystyle{ \vec{u} = (2,-2,1)}\) (współczynniki przy s)
oraz
\(\displaystyle{ \vec{v} = (2,-1,-1)}\) (współczynniki przy t)
Wektor normalny (będę go oznaczał jako wektor n) płaszczyzny to taki wektor prostopadły do niej, czyli prostopadły do wektorów v,u. Wektor normalny jest więc iloczynem wektorowym wektorów v oraz u. Iloczyn wektorowy definiuje się jako wyznacznik:
\(\displaystyle{ \vec{n} = (\vec{u} \vec{v}) = ft|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-2&1\\2&-1&-1\end{array}\right|}\)
Wyznacznik ten jest równy \(\displaystyle{ 3i +4j + 2k}\) (to łatwo wyliczyć np. z reguły Sarrusa), stąd wektor normalny jest równy:
\(\displaystyle{ \vec{n} = (3, 4, 2)}\) (współczynniki przy i,j,k).
Rownanie parametryczne prostej równoległej do wektora n oraz przechodzącej przez punkt (1,2,3) ma więc postać:
\(\displaystyle{ l: (x,y,z) = (1,2,3) + t(3,4,2)}\)
Z równania które podałaś wynika, że prosta jest rozpięta na dwóch wektorach:
\(\displaystyle{ \vec{u} = (2,-2,1)}\) (współczynniki przy s)
oraz
\(\displaystyle{ \vec{v} = (2,-1,-1)}\) (współczynniki przy t)
Wektor normalny (będę go oznaczał jako wektor n) płaszczyzny to taki wektor prostopadły do niej, czyli prostopadły do wektorów v,u. Wektor normalny jest więc iloczynem wektorowym wektorów v oraz u. Iloczyn wektorowy definiuje się jako wyznacznik:
\(\displaystyle{ \vec{n} = (\vec{u} \vec{v}) = ft|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-2&1\\2&-1&-1\end{array}\right|}\)
Wyznacznik ten jest równy \(\displaystyle{ 3i +4j + 2k}\) (to łatwo wyliczyć np. z reguły Sarrusa), stąd wektor normalny jest równy:
\(\displaystyle{ \vec{n} = (3, 4, 2)}\) (współczynniki przy i,j,k).
Rownanie parametryczne prostej równoległej do wektora n oraz przechodzącej przez punkt (1,2,3) ma więc postać:
\(\displaystyle{ l: (x,y,z) = (1,2,3) + t(3,4,2)}\)