Układ trzech równań z 3 niewiadomymi

[Monia88]

Witam,

potrzebuje pomocy z wyliczeniem tego układu równań stosując metodę Eliminacji Gaussa.


\(\displaystyle{ x-5y-3z=1}\)
\(\displaystyle{ x+2y-3z=1}\)
\(\displaystyle{ 2x-4y-z=-11}\)


zdaję sobie sprawę że prawdopodobnie coś podobnego znajduję się w sieci natomiast rozwiązywanie tutaj na forum o wiele bardziej daje do zrozumienia

Pozdrawiam

[pawellogrd]

Zapisujemy układ równań w postaci macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\1&2&-3&|&1\\2&-4&-1&|&-11\end{array}\right]^{w_2 - w_1}_{w_3 - 2w_1} \rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&7&0&|&0\\0&6&5&|&-13\end{array}\right]^{w_2 \cdot \frac{1}{7}} \rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&1&0&|&0\\0&6&5&|&-13\end{array}\right]_{w_3 - 6w_2} \\ \\ \\ = \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&1&0&|&0\\0&0&5&|&-13\end{array}\right]_{w_3 \cdot \frac{1}{5}} = \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&1&0&|&0\\0&0&1&|&\frac{-13}{5}\end{array}\right]}\)

Stąd odczytujemy:

\(\displaystyle{ z=-\frac{13}{5} \\ \\ y=0 \\ \\ x -5y -3z = 1 \rightarrow x = 1+5y+3z \rightarrow x=1- \frac{39}{5} = -\frac{34}{5}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-\frac{34}{5}\\ y=0 \\ z=-\frac{13}{5} \end{cases}}\)

[Monia88]

A w jaki sposób mam liczyć

\(\displaystyle{ w_{2} -w_{1} \ lub \ w_{3}-2w_{1}}\)


?

[MichalPWr]

Są to przekształcenia elementarne na macierzach.
Jaśniej: Odejmujesz wiersz np pierwszy od drugiego lub pierwszy od trzeciego pomnożonego przez jakąś liczbę.

[Monia88]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\1&2&-3&|&1\\2&-4&-1&|&-11
\end{array}\right]^{w_2 - w_1}_{w_3 - 2w_1} \ \ \Rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\(1-1)&(2-(-5))&(-3-(-3))&|&(1-1)\\(2-2\cdot1)&((-4)-2\cdot(-5))&(-1)-2\cdot(-3))&|&(-11)-2\cdot1\end{array}\right] \Leftarrow}\)
\(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ \rightarrow
\left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&7&0&|&0\\0&6&5&|&-13\end{array}\right]^{w_2 \cdot \frac{1}{7}} \Rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&(7 \cdot \frac{1}{7})&0&|&0\\0&6&5&|&-13\end{array}\right] \Leftarrow}\)
\(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ \rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&1&0&|&0\\0&6&5&|&-13\end{array}\right]_{w_3 - 6w_2} \Rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&1&0&|&0\\0&(6-6 \cdot 1&(5-6 \cdot 0&)|&(-13-6 \cdot 0)\end{array}\right] \Leftarrow}\)
\(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ \rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&1&0&|&0\\0&0&5\frac{1}5&|&-13\end{array}\right]_{w_3
\cdot \frac{1}{5}} \Rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&1&0&|&0\\0&0&(5 \cdot \frac{1}{5})&|&-13:5\end{array}\right] \Leftarrow}\)
\(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ = \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&-3&|&1\\0&1&0&|&0\\0&0&1&|&\frac{-13}{5}\end{array}\right]}\)


Tak trochę w rozwiniętej wersji ale pomoże mi to wszystko załapać..

Hmm a czemu \(\displaystyle{ z=-\frac{5}{13}}\)

a nie np 1 bądź 0 ? i analogicznie \(\displaystyle{ y=0}\) ?

[pawellogrd]

Popatrz na to, że w pierwszej kolumnie wpisywaliśmy współrzędne x-owe, w drugiej kolumnie y-kowe, w trzeciej z-towe, a w czwartej ich wartości (to co było po prawej stronie w równaniach). Stąd 1 w trzeciej kolumnie oznacza 1z czyli po prostu z. A po prawej stronie jest \(\displaystyle{ \frac{-13}{5}}\) zatem \(\displaystyle{ z=\frac{-13}{5}}\)

[Monia88]

Idąc tym tropem zadnie w stylu

\(\displaystyle{ x-3y+3z=-1}\)
\(\displaystyle{ x+2y-4z=6}\)
\(\displaystyle{ 7x-2y-z=-2}\)


Będzie wyglądało następująco:


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-3&3&|&-1\\1&2&-4&|&6\\7&-2&-1&|&-2 \end{array}\right]^{w_2 - w_1}_{w_3 - 7w_1} \rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}1&-3&3&|&-1\\0&5&-7&|& 7\\0&-16&28&|&-44 \end{array}\right]}\)


Zastanawiam się czy takie duży cyfry powinny wychodzić

[pawellogrd]

Jak najbardziej mogą Rozwiązujesz je do końca i jak masz wątpliwości czy dobrze rozwiązałaś to podstaw sobie wyznaczone x, y, z do każdego z równań co miałaś na początku i sprawdź czy każde z nich będzie spełnione