Macierz odwrotna

Monia88 · Post autor: **Monia88** » 10 lut 2012, o 19:48

Witam,

tym razem mam zagłostkę z następującym tematem:

Wyznacz macierz odwrotną \(\displaystyle{ A ^{-1}}\), gdy macierz \(\displaystyle{ A}\) jest:

\(\displaystyle{ A= \ \left[\begin{array}{ccc}1&4&-4\\0&1&-1\\-1&1&0\end{array}\right]}\)

Sprawdzałam wyniki z internetowymi kalkulatorami ale w każdym też wychodzi inaczej

Poniżej zamieszczam mój sposób rozwiązania i prosiła bym o ewentualną korektę
(pomijam wyznaczania detA)

\(\displaystyle{ detA=1 \ \ \ A ^{-1}=\frac{1}{detA}\left| A ^{D} \right| ^{T}}\)

\(\displaystyle{ a _{11}=(-1) ^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1&-1\\1&0\end{array}\right|=1*0-(-1)*1=1}\)

\(\displaystyle{ a _{12}=(-1) ^{1+2}\left|\begin{array}{cc}0&-1\\-1&0\end{array}\right|=0*0-(-1)*(-1)=-1}\)

\(\displaystyle{ a _{13}=(-1) ^{1+3}\left|\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right|=0*1-1*(-1)=1}\)

\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|=4*0-(-4)*1=4}\)

\(\displaystyle{ a _{22}=(-1) ^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1&-4\\-1&0\end{array}\right|=1*0-(-4)*(-1)=-4}\)

\(\displaystyle{ a _{23}=(-1) ^{2+3}\left|\begin{array}{cc}1&4\\-1&1\end{array}\right|=1*1-4*(-1)=5}\)

\(\displaystyle{ a _{31}=(-1) ^{3+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&-1\end{array}\right|=4*(-1)-(-4)*1=0}\)

\(\displaystyle{ a _{32}=(-1) ^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1&-4\\0&-1\end{array}\right|=1*(-1)-(-4)*0=-1}\)

\(\displaystyle{ a _{33}=(-1) ^{3+3}\left|\begin{array}{cc}1&4\\0&1\end{array}\right|=1*1-4*0=1}\)

\(\displaystyle{ A ^{-1}=(\frac{1}{1}) \ 1\left|\begin{array}{ccc}1&-1&1\\4&-4&5\\0&-1&1\end{array}\right| ^{T} \ = 1\left|\begin{array}{ccc}1&4&0\\-1&-4&-1\\1&5&1\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ A ^{-1}=\left|\begin{array}{ccc}1&4&0\\-1&-4&-1\\1&5&1\end{array}\right| \leftarrow Wynik}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 10 lut 2012, o 22:52

Np. \(\displaystyle{ a_{12}=1.}\) O \(\displaystyle{ (-1)^{i+j}}\) pamiętaj. Dalej nie sprawdzam. Skontroluj wszystkie dopełnienia algebraiczne.

Monia88 · Post autor: **Monia88** » 10 lut 2012, o 23:24

Wydaje mi się że mam dobrze lub co mam nadzieje się nie potwierdzi dalej nie rozumiem

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 10 lut 2012, o 23:27

Więc źle Ci się wydaje odnośnie tego, co napisałem. Ty masz źle, ja mam dobrze Sprawdziłem raz jeszcze. Wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ -1}\). Ale jeszcze masz coś przed nim: \(\displaystyle{ (-1)^{2+1}\cdot(-1)=1.}\)

Monia88 · Post autor: **Monia88** » 11 lut 2012, o 00:15

To znaczy że przy każdym wyniku zmieni mi się znak ?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 11 lut 2012, o 00:25

Nie przy każdym wyznaczniku: tylko tam, gdzie wykładnik jest nieparzysty. Wygląda na to, że tego w ogóle nie uwzględniłaś. Dobrej nocy.

Monia88 · Post autor: **Monia88** » 11 lut 2012, o 00:32

Noc z matematyką owszem że dobra

Zrobiłam jak potrafiłam, jak to zadanie powinno wyglądać ?

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 11 lut 2012, o 00:42

Byloby ok tylko nie uwzglednilas tych zmian znakow, napisalas je. Spojrzmy np. na to:

\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|=4*0-(-4)*1=4}\)

Powinno byc:

\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|= (-1) ^{2+1} (4 \cdot 0-(-4)\cdot1)= -1 (4\cdot0-(-4)\cdot1) = -4}\)

Analogicznie pozostałe elementy

Monia88 · Post autor: **Monia88** » 11 lut 2012, o 01:13

Analogicznie nieparzyste wykładniki tj nadmienił szw1710.

\(\displaystyle{ a _{12} (-1) ^{1+2}(0 \cdot 0-(-1) \cdot (-1)=(-1) \cdot (-1)=1}\)

\(\displaystyle{ a _{21} (-1) ^{2+1}(4 \cdot 0-(-4) \cdot 1=(-1) \cdot 4=-4}\)

\(\displaystyle{ a _{23} (-1) ^{2+3}(1 \cdot 1-4 \cdot (-1)=(-1) \cdot 5=-5}\)

\(\displaystyle{ a _{32} (-1) ^{3+2}(1 \cdot (-1)-(-4) \cdot 0=(-1) \cdot (-1)=1}\)

Teraz się zgadza ?

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 11 lut 2012, o 13:34

Teraz tak

bemekw · Post autor: **bemekw** » 11 lut 2012, o 13:57

Czy mógłby mi ktoś napisać, co to oznacza: \(\displaystyle{ |A^D|}\)? (zwłaszcza to \(\displaystyle{ D}\) Do tej pory wyznaczałem macierz odwrotną metodą eliminacji Gauss'a, pierwszy raz się spotykam z tym sposobem.

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 11 lut 2012, o 14:36

Jest to macierz dopełnień algebraicznych