Witam.
Poszukuję pomocy w sprawdzeniu wyników zadania, zanim wyślę je do wykładowcy.
Jeżeli byłby ktoś tak miły i mi pomógł, byłbym bardzo wdzięczny.
1. Dla macierzy:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&1&2\\0&1&1\end{bmatrix}}\)
obliczyć \(\displaystyle{ \left(A ^{T} A \right) ^{-1}}\)
Wyszło mi: \(\displaystyle{ \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1&-2\\-2&9\end{bmatrix}}\)
EDIT2: co jest kompletną bzdurą...
\(\displaystyle{ \left(A ^{T} A \right)}\) ma wyznacznik 0 więc nie ma macierzy odwrotnej
2. Dla jakiej wartości x rząd macierzy
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&1&x&3\\-1&2&0&0\\0&-1&3&2\\0&1&0&-2\end{bmatrix}\right]}\)
i nie bardzo wiem, szczerze mówiąc, o co chodzi z interpretacją geometryczną, może poza tym, że jest to prosta w układzie XYZ.
jest mniejszy od 4?
Wychodzi mi, że rząd macierzy nie zależy od x w ogóle, ponieważ \(\displaystyle{ A _{13} = 0}\)
3. Znaleźć rozwiązanie układu \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+z=-1\\ -x+2y-2z=0\end{cases}}\) i podać interpretację geometryczną rozwiązania.
Wychodzi mi: \(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{-t-2}{5} \\ y= \frac{t-1}{5} \\ z=t\end{cases}}\)
4. Dane są wektory \(\displaystyle{ \vec{u} = [1,2,-1] i \vec{v} = [3,2,1]}\)
obliczyć kąt pomiędzy tymi wektorami i wyznaczyć do nich wektor prostopadły.
Wyszło mi:
kąt \(\displaystyle{ cos \frac{6}{ \sqrt{84} }}\)
wektor \(\displaystyle{ \vec{w} = [4, -4, -4]}\)
5. wyznaczyć wartości własne oraz wektory własne macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\1&0&1\\1&-1&0\end{bmatrix}}\)
wyszła mi tylko jedna \(\displaystyle{ \lambda = 1}\)
Co do wektora to załamałem ręce nad swoją niepojętnością.
Wychodzi mi że \(\displaystyle{ x _{1} = x _{2}}\) a \(\displaystyle{ x _{3} =0}\) ale co z tym dalej zrobić to nie mam pojęcia.
6. Wykazać, że wektory \(\displaystyle{ \vec{v _{1} } =[0,1,0], \vec{v _{2} } =[-1,0,0], \vec{v _{3} } = [0,0,1]}\)
są liniowo niezależne.
Wyrazić \(\displaystyle{ \vec{w} =[1,2,0]}\) w postaci kombinacji liniowej wektorów \(\displaystyle{ \vec{v _{1},\vec{v _{2},\vec{v _{3}}\)
Oto co mi wyszło:
Wektory są liniowo niezależne bo wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\) nie jest równy zero (edit)
Wektor \(\displaystyle{ \vec{w} = 2 \vec{v _{1} } - \vec{v _{2} }}\)
Myślicie, że powinienem to rozbić na kilka niezależnych tematów?
Pozdrawiam
