Macierz przekształcenia w przest. wielomianów - sprawdzenie

[bemekw]

Mam dane przekształcenie \(\displaystyle{ f: P^3_{\mathbb{R}} \rightarrow P^2_{\mathbb{R}}}\) dane wzorem:

\(\displaystyle{ (f(p))(t) = p(1) + (p(0) - p(1))t}\)

Czy macierz tego przekształcenia w podanych bazach będzie tak wyglądać (w standardowych bazach)?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-1&-1\end{array}\right]}\)

Może pytanie trywialne, ale do tej pory na ćwiczeniach omawialiśmy przekształcenia liniowe z przestrzeni wektorów w przestrzeń wektorów, dlatego chciałbym mieć pewnośc, że dla przestrzeni wielomianów rozumuję dobrze.

[szw1710]

Macierz możesz rozważać przez identyfikację z przestrzenią euklidesową, jak Ci poprzednio pokazałem. Chyba z łatwością znajdziesz macierz takiego przekształcenia.

Jakie to podane bazy? \(\displaystyle{ (1,t,t^2)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,t)}\) czyli standardowe?

[bemekw]

Macierz możesz rozważać przez identyfikację z przestrzenią euklidesową, jak Ci poprzednio pokazałem. Chyba z łatwością znajdziesz macierz takiego przekształcenia.

Jakie to podane bazy? \(\displaystyle{ (1,t,t^2)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,t)}\) czyli standardowe?

Tak - w standardowych.

To wygląda, że jest dobrze - zrobiłem jak Pan pokazał, czyli identyfikowałem wielomian z pewnym wektorem i zrobiłem to tak, jak do tej pory na ćwiczeniach dla wektorów. Sprawdziłem dla \(\displaystyle{ p(t) = a + b \cdot t + c \cdot t^2}\):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-1&-1\end{array}\right] \cdot [a,b,c]^T = [a+b+c, -b-c]^T}\), czyli nasz wielomian \(\displaystyle{ q (t) = p(1) + (p(0) - p(1))t = a+b+c + (-b-c)t}\), gdzie \(\displaystyle{ q \in P^2_{\mathbb{R}}}\). (oczywiście wszystko w bazach standardowych)

Gdy już mam taką macierz w bazach standardowych, chyba dalej już łatwo będzie znaleźć macierz przekształcenia w innyc bazach poprzez wzór \(\displaystyle{ F = \mathbb{B}^{-1} \cdot f \cdot \mathbb{A}}\).

Tylko teraz pytanie - jeśli już bym chciał zmienić bazę, to macierze \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) są macierzami utworzonymi z wektorów współczynników baz docelowej i wyjściowej (jak już przyjmuję tą interpretację) więc bez literek \(\displaystyle{ t}\)?