znajdź własności i wektory własne macierzy

[wojteks90]

Witam.

Przygotowuje się właśnie do egzaminu i mam problem z policzeniem wektorów własnych macierzy

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&-2\\-1&2&3\end{array}\right]}\)

z wyliczeń wyszło mi, że wartości własne to :

\(\displaystyle{ \lambda_{1}=1,
\lambda_{2}=2,
\lambda_{3}=2}\)

i tu moje pytanie: jak znaleźć wektor własny jeśli mam dwie takie same wartości własne

Z góry dzięki za pomoc

[Qń]

Dokładnie tak samo jak w przypadku gdy wartości własne mają krotność algebraiczną równą jeden. To znaczy odejmujesz dwójkę na przekątnej i rozwiązując stosowny układ równań otrzymujesz odpowiednią podprzestrzeń wektorów własnych odpowiadających wartości własnej dwa.

Q.

[wojteks90]

jak wstawiam 2 do równania to wychodzi mi jeden wektor a z tego co się orientowałem to powinienem otrzymać 2 wektory, żeby móc później wstawić je do macierzy jeśli chciałbym przeprowadzać diagonalizacje.

[Qń]

Jeśli podprzestrzeń wektorów własnych odpowiadająca wartości własnej \(\displaystyle{ 2}\) wyszła Ci jednowymiarowa (czyli po ludzku: dostaliśmy tylko jeden wektor własny), to znaczy, że nie da się znaleźć bazy złożonej z wektorów własnych. Ergo: macierz nie jest diagonalizowalna. Co najwyżej można ją sprowadzić do postaci Jordana.

Q.

[wojteks90]

czyli z tego co zrozumiałem otrzymujemy, że:

\(\displaystyle{ \lambda = 2}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1-&2&1\\2&-2&-2\\-1&2&1\end{array}\right]}\)

=> po przekształceniu metodą gaussa otrzymuje, że

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)

co przyjąc za parametr?? \(\displaystyle{ x_3}\) czy \(\displaystyle{ x_2}\)??

ps.wrzucając tą macierz początkową w wolframa otrzymuje 3 wartości własne i 3 wektory

-- 6 lut 2012, o 22:22 --

jako parametr przyjąłem \(\displaystyle{ x_1}\). Korzystając z metody Cramera otrzymałem wektor

\(\displaystyle{ \vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\end{array}\right]}\)

co jednak według wolframa jest błędem

[Qń]

=> po przekształceniu metodą gaussa otrzymuje, że
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)

Raczej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\0&2&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)
a po dalszym przekształceniu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)
Łatwo stąd otrzymać, że wektory własne są postaci \(\displaystyle{ t\cdot (1,0,1)}\). Czyli podprzestrzeń wektorów własnych jest jednowymiarowa.

A druga wartość własna to zero, a nie jeden - i z niej również otrzymamy podprzestrzeń wymiaru jeden.

Nie wiem co dokładnie wrzucasz do Wolframa, ale najwyraźniej coś z tym wrzucaniem robisz źle.

Q.

[wojteks90]

ok mój błąd w przekształceniu. W sumie jak popatrzyłem dokładniej w wolframie to pisze ze macierz nie diagonalizuje. Tylko dalej nie wiem co trzeba przyjmować za parametr jeżeli otrzymam dwie takie same wartości własne. Weźmy np macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)

Otzymujemy, że:
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=1,
\lambda_{2}=1,
\lambda_{3}=0}\)

dla \(\displaystyle{ \lambda_{3}}\) podstawienie jest łatwe i wychodzi jeden wektor jednak jak zrobić w tym przypadku dla \(\displaystyle{ \lambda_{1,2}=1}\) dwa wektory? co trzeba podstawić za parametr i jak to zrobić? Takie właśnie typy zadań sprawiają, że zatrzymuje się w miejscu i nie wiem jak to ruszyć a jest mi to bardzo potrzebne

[Qń]

To z czym masz problem to po prostu rozwiązywanie układów równań. W podanym przez Ciebie nowym przykładzie dla wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\) mamy do czynienia z układem równań:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\)
W ogólności najpierw metodą Gaussa doprowadza się macierz do najprostszej postaci, ale w tym wypadku już taka postać jest. Mamy tylko jedno równanie: \(\displaystyle{ x_3=0}\), zatem rozwiązanie jest postaci:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,0)= x_1\cdot (1,0,0)+x_2\cdot (0,1,0)}\)
skąd widać dwa wektory własne (ściślej: dwuelementową bazę podprzestrzeni własnej).

Oczywiście akurat w tym przykładzie macierz od razu była diagonalna, więc te rachunki nie są potrzebne. Oczywiście też nie zawsze tak jak tutaj wychodzą dwa wektory własne - na przykład w pierwotnym przykładzie po przekształceniu macierzy otrzymaliśmy równania \(\displaystyle{ -x_1+x_3=0,x_2=0}\), skąd po wyznaczeniu z pierwszego \(\displaystyle{ x_3=x_1}\), dostaliśmy rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)=(x_1,0,x_1)=x_1\cdot (1,0,1)}\)
czyli podprzestrzeń była jednowymiarowa.

Q.

[wojteks90]

doszedłem do tego rozwiązania trochę inną metodą ale się zgadza z twoimi wyliczeniami. Dzięki za pomoc