Wyznacznik z def. permutacyjnej....

[l00kem]

Witam, czy mógłby ktoś wytłumaczyć jak wyliczyc macierz A korzystając z definicji permutacyjnej?

Kod: Zaznacz cały

                                                              | 1     2    3     4   |
                                                              | 5     6    7     8   |
                                                        A = | 9    10  11   12   |
                                                              | 13  14  15   16   |

Z góry dziękuję za pomoc

[wb]

wyznacznik permutacyjny to suma wszystkich iloczynów:
\(\displaystyle{ (-1)^k\cdot a_{1p}\cdot a_{2q}\cdot a_{3r}\cdot a_{4s}}\)
gdzie (p,q,r,s) są wszystkimi permutacjami zbioru {1,2,3,4} zaś k oznacza ilość inwersji w permutacji.

[l00kem]

Tzn znam defiicję, tylko nie potrafię jej zastosować....
Umiem jedynie liczyć wyznaczniki rekurencyjnie, a permutacji nigdy nie miałem na żadnych zajęciach, a na podstawie książek nie jestem w stanie dojść, do tego o co chodzi. Dlatego proszę o komentarz prostymi słowami, w jaki sposób to rozpisać i podstawić liczby z macierzy, aby otrzymać wynik.

[wb]

Utwórz wszystkie permutacje zbioru {1,2,3,4}:
(1,2,3.4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2),...
a nastepnie analogicznie z 2, 3, 4 na pierwszym miejscu.
Jest tego 4!=24.
Dalej to:
\(\displaystyle{ (-1)^0a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}+(-1)^1a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}+(-1)^2a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+(-1)^3a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}+(-1)^4a_{11}a_{24}a_{32}a_{43}+...}\)
aż do wyczerpania wszystkich 24 permutacji.

[l00kem]

Dokładnie o to mi chodziło. Wielkie Dzięki.