Wykazać że układ \(\displaystyle{ \alpha _1 ... \alpha _k}\) wektorów przestrzeni V jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego \(\displaystyle{ i=1,...,k}\) zachodzi \(\displaystyle{ \alpha _i \not\in lin( \alpha _1 ,..., \alpha _{i-1})}\).
Dowód zaczynam do implikacji w lewo:
Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha _i \not\in lin( \alpha _1 ,..., \alpha _{i-1})}\) to wiemy że \(\displaystyle{ \alpha _1 ... \alpha _{i-1}, \alpha _i}\) jest układem liniowo niezależnym, czyli jest tak w szczególności dla i=k. Czy to ma sens? Mam też problem z implikacją odwrotną, jak pokazać że układ \(\displaystyle{ \alpha _1 ,..., \alpha _{i-1}, \alpha _i}\) jest liniowo niezależny?
układ liniowo niezależny
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
układ liniowo niezależny
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) :
Niech \(\displaystyle{ \alpha _1 ... \alpha _k}\) będzie układem liniowo niezależnym. Ustalmy \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1,...,k\right\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ \alpha _1 ... \alpha _i}\) także jest układem liniowo niezależnym. Przypuśćmy przez sprzeczność, że \(\displaystyle{ \alpha _i \in \mbox{lin} ( \alpha _1 ,..., \alpha _{i-1})}\). Wówczas \(\displaystyle{ \alpha _i = b_{1}\alpha_{1} + ... + b_{i-1}\alpha_{i-1}}\) dla pewnych nie wszystkich równych zeru \(\displaystyle{ b_{l}}\). Ale z tego wynika, że \(\displaystyle{ b_{1}\alpha_{1} + ... + b_{i-1}\alpha_{i-1} - \alpha_{i} = 0}\). Ale skoro jest to układ liniowo niezależny to wynikałoby z tego, że \(\displaystyle{ -1=0}\) - sprzeczność.
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\) :
Tak jak Ty zrobiłeś. Możesz to jeszcze rozpisać podobnie do powyższej argumentacji.
Niech \(\displaystyle{ \alpha _1 ... \alpha _k}\) będzie układem liniowo niezależnym. Ustalmy \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1,...,k\right\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ \alpha _1 ... \alpha _i}\) także jest układem liniowo niezależnym. Przypuśćmy przez sprzeczność, że \(\displaystyle{ \alpha _i \in \mbox{lin} ( \alpha _1 ,..., \alpha _{i-1})}\). Wówczas \(\displaystyle{ \alpha _i = b_{1}\alpha_{1} + ... + b_{i-1}\alpha_{i-1}}\) dla pewnych nie wszystkich równych zeru \(\displaystyle{ b_{l}}\). Ale z tego wynika, że \(\displaystyle{ b_{1}\alpha_{1} + ... + b_{i-1}\alpha_{i-1} - \alpha_{i} = 0}\). Ale skoro jest to układ liniowo niezależny to wynikałoby z tego, że \(\displaystyle{ -1=0}\) - sprzeczność.
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\) :
Tak jak Ty zrobiłeś. Możesz to jeszcze rozpisać podobnie do powyższej argumentacji.