\(\displaystyle{ Znajdź \ rzut \ prostopadły \ oraz \ rzut \ w \ kierunku \ wektora \ [1,2,3]\ punktu \ (2,1,-2)}\)
\(\displaystyle{ na \ płaszczyźnie \ x + 2y -z -1 = 0}\)
Rzut w kierunku wektora
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Rzut w kierunku wektora
Wektor prostopadły do płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{u}=[1,2,-1]}\)
Prosta prostopadła do płaszczyzny i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ (2,1,-2)}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=t+2\\y=2t+1\\z=-t-2\end{cases}}\)
Podstawiamy do równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ (t+2)+2(2t+1)-(-t-2)-1=0\\
t=-\frac{5}{6}\\}\)
Rzutem jest punkt:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-\frac{5}{6}+2=\frac{7}{6}\\y=2\cdot\left( -\frac{5}{6}\right) +1=-\frac{2}{3}\\z=\frac{5}{6}-2=-\frac{7}{6}\end{cases}\ \Rightarrow \left( \frac{7}{6};-\frac{2}{3};-\frac{7}{6}\right)}\)
Analogicznie drugi przypadek:
\(\displaystyle{ \vec{v}=[1,2,3]}\)
Prosta równoległa do \(\displaystyle{ \vec{v}}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ (2,1,-2)}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=t+2\\y=2t+1\\z=3t-2\end{cases}}\)
Podstawiamy do równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ (t+2)+2(2t+1)-(3t-2)-1=0\\
t=-\frac{5}{2}\\}\)
Rzutem jest punkt:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-\frac{5}{2}+2=-\frac{1}{2}\\y=2\cdot\left( -\frac{5}{2}\right) +1=-4\\z=3\cdot\left(-\frac{5}{2}\right) -2=-\frac{19}{2}\end{cases}\ \Rightarrow \left( -\frac{1}{2};-4;-\frac{19}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{u}=[1,2,-1]}\)
Prosta prostopadła do płaszczyzny i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ (2,1,-2)}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=t+2\\y=2t+1\\z=-t-2\end{cases}}\)
Podstawiamy do równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ (t+2)+2(2t+1)-(-t-2)-1=0\\
t=-\frac{5}{6}\\}\)
Rzutem jest punkt:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-\frac{5}{6}+2=\frac{7}{6}\\y=2\cdot\left( -\frac{5}{6}\right) +1=-\frac{2}{3}\\z=\frac{5}{6}-2=-\frac{7}{6}\end{cases}\ \Rightarrow \left( \frac{7}{6};-\frac{2}{3};-\frac{7}{6}\right)}\)
Analogicznie drugi przypadek:
\(\displaystyle{ \vec{v}=[1,2,3]}\)
Prosta równoległa do \(\displaystyle{ \vec{v}}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ (2,1,-2)}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=t+2\\y=2t+1\\z=3t-2\end{cases}}\)
Podstawiamy do równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ (t+2)+2(2t+1)-(3t-2)-1=0\\
t=-\frac{5}{2}\\}\)
Rzutem jest punkt:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-\frac{5}{2}+2=-\frac{1}{2}\\y=2\cdot\left( -\frac{5}{2}\right) +1=-4\\z=3\cdot\left(-\frac{5}{2}\right) -2=-\frac{19}{2}\end{cases}\ \Rightarrow \left( -\frac{1}{2};-4;-\frac{19}{2}\right)}\)