Znajdź wektory generujące bazę

kazafin · Post autor: **kazafin** » 4 lut 2012, o 00:44

Znajdź wektory generujące bazę oraz wymiar przestrzeni wektorowej.

\(\displaystyle{ V=\left\{[x,y,z,t] \in R^{4}: x + 2y - z + t = x + y = x - y = x - y + t \right\}}\)

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 4 lut 2012, o 10:55

Jeżeli się nie pomyliłem w pamięci, to wymiar będzie \(\displaystyle{ 1}\). Bo jak ustalę \(\displaystyle{ x}\), to bez problemu jednoznacznie wyliczam \(\displaystyle{ y}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ t=0}\). Więc już teraz mamy \(\displaystyle{ \mbox{dim} V \le 2}\).
Ale jak mam \(\displaystyle{ x,\ y,\ t}\), to z pierwszego mam jednoznacznie wyznaczony z. Czyli \(\displaystyle{ \mbox{dim} V = 1}\)-- 4 lut 2012, o 10:56 --No i - generatory - będzie to dowolny niezerowy wektor w tej przestrzeni.

kazafin · Post autor: **kazafin** » 4 lut 2012, o 11:29

A czy mógłbyś opisać cały tok rozumowania krok po kroku z wszystkimi obliczeniami ? Byłbym wdzięczny.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 4 lut 2012, o 12:14

Niech \(\displaystyle{ v=(x,y,z,t) \in V}\)

Wówczas ze środkowej równości mam: \(\displaystyle{ x+y=x-y}\). Stąd \(\displaystyle{ y=0}\). Natomiast z ostatniej równości otrzymuję \(\displaystyle{ t=0}\). Teraz z równości pierwszej mam: \(\displaystyle{ x-z=x}\), czyli \(\displaystyle{ z=0}\).
Zatem ten wektor jest postaci \(\displaystyle{ v=(x,0,0,0)}\).

Zatem \(\displaystyle{ V=\left\langle (1,0,0,0)\right\rangle}\). Stąd \(\displaystyle{ \mbox{dim}V = 1}\).