układ liniowo niezależny

[ct985]

Niech \(\displaystyle{ f_1,...,f_k}\) będzie takim układem wielomianów w \(\displaystyle{ K[x]}\), niezawierającym wielomianu zerowego, że \(\displaystyle{ deg f_i \neq deg f_j}\) dla każdego \(\displaystyle{ i \neq j}\). Wykazać że układ \(\displaystyle{ f_1,...,f_k}\) jest liniowo niezależny.

[bartek118]

Niech N będzie zbiorem stopni tych wielomianów. Zauważ, że mnożenie przez skalar i dodawanie tych wielomianów nie wyprowadzi Cię z tego zbioru. Czyli jak weźmiesz dwa dowolne takie wielomiany to niezerową kombinacją liniową nie otrzymasz zera, bo przy mnożeniu przez niezerowy skalar stopień się nie zmieni, a suma/różnica tych wielomianów ma stopień równy maksimum z tych dwóch stopni. Czyli nie otrzymamy wielomianu zerowego.