Odwzorowanie liniowe.

Rastook · Post autor: **Rastook** » 3 lut 2012, o 19:42

Rozważmy odwzorowanie liniowe:

\(\displaystyle{ L:R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\)

postaci:

\(\displaystyle{ L(x,y,z)=(x+z,3x+2z,z)}\)

Czy istnieje baza przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\) w której macierz \(\displaystyle{ A _{L}}\) odwzorowania \(\displaystyle{ L}\) jest diagonalna ? Odpowiedź uzasadnij, a w przypadku pozytywnej odpowiedzi wyznacz te baze.

Mam problem z tym zadaniem, w wyniku tego odwzorowania dostaje wektor, w którym nie występuje \(\displaystyle{ y}\). Chciałem wyznaczyć postać Jordana tej macierzy, ale coś mi nie wychodzi.
Z tego co wiem, każda macierz kwadratowa ma swoją postać Jordana, w szczególnym przypadku jest ona diagonalna. Jeżeli jestem w błędzie, proszę mnie poprawić.

Czy ktoś dałby rade dokładnie rozpisać to zadanie i wyznaczyć postać Jordana, nawet jeśli to nie ma związku z zadaniem ?

Dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=0}\) nie wiem jak znaleźć wektor własny.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 3 lut 2012, o 20:01

Dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda = 0}\) wektory własne to po prostu \(\displaystyle{ \ker L \setminus \left\{ 0\right\}}\).

Rastook · Post autor: **Rastook** » 3 lut 2012, o 20:10

Faktycznie. Ale przy wyznaczaniu jądra mam układ trzech równań gdzie nie występuje \(\displaystyle{ y}\).
Więc jak będzie wyglądał przykładowy wektor dla \(\displaystyle{ \lambda=0}\) ?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 3 lut 2012, o 20:16

Jest to na przykład \(\displaystyle{ v=(0,1,0)}\). Jak policzysz \(\displaystyle{ \ker L}\) to otrzymasz, że

\(\displaystyle{ \ker L = \left\{ (0,t,0) \in \mathbb{R}^{3} | \ t\in \mathbb{R} \right\}}\)

Rastook · Post autor: **Rastook** » 4 lut 2012, o 01:53

Ok, właśnie tu miałem pewną wątpliwość.

Dzięki