podprzestrzeń - parametr

[ct985]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ t \in R}\) zbiór rozwiązań następującego układu równań jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ R^{3}}\)?

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_{1} + (1 - t^{2})x_{2}^{3} - x_{3}=0 \\ x_{1}-5x_{2}+(2t+2)\left| x_{3}\right|=t^{3} -t \end{cases}}\)

[szw1710]

Wszystkie podprzestrzenie liniowe przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) można przedstawić jako zbiory rozwiązań jednorodnych układów równań liniowych. A zatem oba równania Twojego układu muszą być liniowe, co dzieje się wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy \(\displaystyle{ x_2^3}\) oraz przy \(\displaystyle{ |x_3|}\) są zerowe i prawa strona drugiego równania też się zeruje.

Zerowanie się współczynnika przy \(\displaystyle{ |x_3|}\) następuje tylko dla \(\displaystyle{ t=-1}\). Wtedy równanie pierwsze jest liniowe (\(\displaystyle{ 1-t^2=0}\) dla \(\displaystyle{ t=-1}\)), a prawa strona drugiego równania także się zeruje. A więc wskazany zbiór rozwiązań układu równań jest podprzestrzenią tylko dla \(\displaystyle{ t=-1.}\)

Dla \(\displaystyle{ t\ne -1}\) powinno się jeszcze znaleźć przykłady świadczące o tym, że to nie jest podprzestrzeń.

Do podprzestrzeni zawsze należy wektor zerowy. Prawa strona drugiego równania mówi, że wektor zerowy go nie spełnia, o ile \(\displaystyle{ t\not\in\{-1,0,1\}.}\)

Dla \(\displaystyle{ t\in\{0,1\}}\) mamy konkretne równania i łatwo znaleźć np. wektor \(\displaystyle{ (a,b,c),}\) który je spełnia, ale np. \(\displaystyle{ 2(a,b,c)}\) ich nie spełnia. To już zostawiam Tobie.

[marcinz]

Wszystkie podprzestrzenie liniowe przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) można przedstawić jako zbiory rozwiązań jednorodnych układów równań liniowych. A zatem oba równania Twojego układu muszą być liniowe, co dzieje się wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy \(\displaystyle{ x_2^3}\) oraz przy \(\displaystyle{ |x_3|}\) są zerowe i prawa strona drugiego równania też się zeruje.

To weźmy taki układ równań \(\displaystyle{ y^2-x=0,x=0}\). Nie jest on liniowy a jego rozwiązanie jest podprzestrzenią liniową.

[szw1710]

Świetnie!!! Dzięki za czujność. Ale twierdzę, że da się tę podprzestrzeń opisać także jednorodnym układem liniowym. To przestrzeń zerowa. I ja to napisałem. Nie napisałem, że można je opisać tylko układem liniowym.

Podprzestrzeń, którą proponujesz, opisujemy np. tak: \(\displaystyle{ x+y=0,\;x-y=0.}\)

Zapraszam do dyskusji

[marcinz]

Do podprzestrzeni zawsze należy wektor zerowy. Prawa strona drugiego równania mówi, że wektor zerowy go nie spełnia, o ile \(\displaystyle{ t\not\in\{-1,0,1\}.}\)

To jest użyteczna uwaga w tym zadaniu i to co było przed nią można uznać za niepotrzebne:)

[szw1710]

Tak, masz rację. Pozostałby więc nieomówiony przypadek \(\displaystyle{ t=-1}\), który oczywiście daje podprzestrzeń.