Znaleźć wartości własne

[Browning0]

Zdecydowanie robię coś źle. I to coś czuję że jest błąd w moim rozumowaniu, bo już 2 razy wykonywałem rachunki i cały czas coś jest nie tak ;/ Dlatego bardzo proszę o pomoc i sprawdzenie mi tego zadania...

Znaleźć wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\0&1&0&0\\-2&2&4&-3\\-2&1&2&-2 \end{bmatrix}}\).

No i robię jak bozia kazała, zaczynam liczyć \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1&1\\0&1-\lambda&0&0\\-2&2&4-\lambda&-3\\-2&1&2&-2-\lambda \end{bmatrix}=(1-\lambda) \cdot \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1\\-2&4-\lambda&-3\\-2&2&-2-\lambda \end{bmatrix}}\)



======================Przekształcanie macierzy 3x3======================
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1\\2&-4+\lambda&3\\2&-2&2+\lambda \end{bmatrix} \xrightarrow{r_{2}-r_{3}} \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1\\0&-2+\lambda&1-\lambda\\2&-2&2+\lambda \end{bmatrix} \xrightarrow{c_{1}+c_{2}} \\ \\ \begin{bmatrix} 2-\lambda&1&1\\-2+\lambda&-2+\lambda&1-\lambda\\0&-2&2+\lambda \end{bmatrix} \xrightarrow{r_{2}+r_{1}} \begin{bmatrix} 2-\lambda&1&1\\0&-1+\lambda&2-\lambda\\0&-2&2+\lambda \end{bmatrix}}\)
====================================================================

\(\displaystyle{ (1-\lambda) \cdot \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1\\-2&4-\lambda&-3\\-2&2&-2-\lambda \end{bmatrix}=(1-\lambda) \cdot \begin{bmatrix} 2-\lambda&1&1\\0&-1+\lambda&2-\lambda\\0&-2&2+\lambda \end{bmatrix} = \\ \\ = (1-\lambda)(2-\lambda) \cdot \begin{bmatrix}-1+\lambda&2-\lambda\\-2&2+\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda) \cdot \begin{bmatrix}-3+\lambda&4\\-2&2+\lambda \end{bmatrix}= \\ \\ = 8(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)(2+\lambda)}\)

No właśnie, a to mi wygląda na zły wynik... Bo dla \(\displaystyle{ \lambda=0}\) wyznacznik wychodziłby 96, a wg tej strony: ... rogram.php wyznacznik powinien wyjść 4

Pomocy!

[mostostalek]

ale przecież wyznacznik tej ostatniej macierzy to \(\displaystyle{ -(3-\lambda)(2-\lambda)+8}\) a nie \(\displaystyle{ 8(3-\lambda)(2-\lambda)}\)

[Browning0]

Ale gafa, dzięki! =D
Hmm, a nie miałeś na myśli:
\(\displaystyle{ -(3-\lambda)(2+\lambda)+8}\)
Zamiast:
\(\displaystyle{ -(3-\lambda)(2-\lambda)+8}\)

I teraz liczymy wektory własne:
\(\displaystyle{ (1-\lambda)(2-\lambda)(-(3-\lambda)(2+\lambda)+8)=0 \\ (1-\lambda)(2-\lambda)(\lambda^{2}-\lambda+2)=0 \\ \Delta < 0 \\ \lambda_{1}=1 \quad \lambda_{2}=2}\)

Dobra, teraz pozwolę sobie zacytować całą treść zadania i byłbym bardzo wdzięczny jakby ktoś mógł mi je sprawdzić

W pewnej bazie B macierz operatora F na przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\) jest równa A. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie własne F. Czy operator F jest diagonalizowalny? Jeśli tak, znaleźć bazę, w której macierz F jest diagonalna.
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\0&1&0&0\\-2&2&4&-3\\-2&1&2&-2 \end{bmatrix}}\)

Dobra! Mam już wyliczone wartości własne: \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1 \quad \lambda_{2}=2}\)
Teraz muszę wyliczyć podprzestrzenie własne F. Niestety jakoś nie mogę znaleźć informacji co to dokładnie jest, ale domyślam się że podprzestrzeń własna to po prostu przestrzeń generowana przez wektory własne F.



To dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1}\) mamy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&1&1\\0&0&0&0\\-2&2&3&-3\\-2&1&2&-3 \end{bmatrix} \xrightarrow{\hbox{po przekształceniach}} \begin{bmatrix} 1&0&-\frac{1}{2}&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=\frac{1}{2}x_{3}\\x_{2}=-x_{3}\\x_{4}=0 \end{cases}}\)

Czyli dostajemy wektory własne postaci: \(\displaystyle{ V=(\frac{1}{2}x_{3},-x_{3},x_{3},0)}\)
A przestrzeń własna dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1}\) wynosi \(\displaystyle{ \mathcal{L}((\frac{1}{2}x_{3},-x_{3},x_{3},0))}\)


Dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_{2}=2}\) mamy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&1&1&1\\0&-1&0&0\\-2&2&2&-3\\-2&1&2&-4 \end{bmatrix} \xrightarrow{\hbox{po przekształceniach}} \begin{bmatrix} 1&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=x_{3}\\x_{2}=0\\x_{4}=0 \end{cases}}\)

Czyli dostajemy wektory własne postaci: \(\displaystyle{ V=(x_{3},0,x_{3},0)}\)
A przestrzeń własna dla \(\displaystyle{ \lambda_{2}=2}\) wynosi \(\displaystyle{ \mathcal{L}((x_{3},0,x_{3},0))}\)

Czy do tego momentu jest na razie dobrze?

PS Pozwolę sobie też zareklamować moje pozostałe tematy, z którymi mam problem i byłbym wdzięczny za jakąkolwiek pomoc
"Przestrzeń rozwiązań układu równań, bazy": 285517.htm
"Baza przecięcia jądra i obrazu przekształcenia liniowego" 285493.htm

Pozdrawiam!

[pecea]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1\\-2&4-\lambda&-3\\-2&2&-2-\lambda \end{bmatrix}}\)
======================Przekształcanie macierzy 3x3======================
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1\\2&-4+\lambda&3\\2&-2&2+\lambda \end{bmatrix}\ldots}\)

Czemu wszędzie oprócz pierwszej kolumny i wiersza zmieniłeś znak? Czy to nic nie zmienia (w sensie wyznacznika)? Staram się nauczyć tego typu zadań i nie mogę zrozumieć, czemu tak zrobiłeś.

[Browning0]

Między tymi dwiema macierzami jest taka różnica że drugi i trzeci wiersz przemnożyłem przez (-1). Nieruszony został wiersz pierwszy Zrobiłem tak bo po prostu chciałem się pozbyć minusów przy dwójkach.

Jest to jedna z operacji elementarnych na macierzach (pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera), w związku z tym macierze są równoważne.

Z tym że nie wiem czy mogę tak robić. Wg wikipedii:

Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.

No ale teoretycznie pomnożyłem dwa razy przez (-1), czyli de facto nic się nie zmieniło.

Tak czy siak: nie jestem ekspertem, sam czekam na odpowiedzi innych

EDIT:
Musi tutaj być jakiś błąd, bo operacje elementarne wpływają przecież na wyznacznik macierzy... Tzn. wydaje mi się że miałem farta i akurat wykonałem takie operacje i w takiej ilości że wyznacznik został nieruszony

Zacytuję:

Operacja dodania do dowolnego wiersza (kolumny) innego (innej) pomnożonego przez stałą nie zmienia wyznacznika macierzy

Pomnożenie wiersza (kolumny) przez niezerowy element ciała K mnoży wyznacznik macierzy A przez ten sam element

Czyli teraz spójrzmy na moje przekształcenia:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1\\-2&4-\lambda&-3\\-2&2&-2-\lambda \end{bmatrix} \xrightarrow{r_{1} \cdot (-1), r_{2} \cdot (-1)} \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1\\2&-4+\lambda&3\\2&-2&2+\lambda \end{bmatrix} \xrightarrow{r_{2}-r_{3}} \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1\\0&-2+\lambda&1-\lambda\\2&-2&2+\lambda \end{bmatrix} \xrightarrow{c_{1}+c_{2}} \\ \\ \begin{bmatrix} 2-\lambda&1&1\\-2+\lambda&-2+\lambda&1-\lambda\\0&-2&2+\lambda \end{bmatrix} \xrightarrow{r_{2}+r_{1}} \begin{bmatrix} 2-\lambda&1&1\\0&-1+\lambda&2-\lambda\\0&-2&2+\lambda \end{bmatrix}}\)

W pierwszym przekształceniu nic się nie zmieniło. Wyznacznik został pomnożony przez (-1), a potem raz jeszcze przez (-1).

W pozostałych trzech mamy do czynienia z przypadkiem, kiedy do dowolnego wiersza (kolumny) dodajemy inny (inną) pomnożony (pomnożoną) przez stałą. Czyli wyznacznik się nie zmienia

[pecea]

Racja, nie zauważyłem, że pierwsze wyrazu drugiego i trzeciego wiersza też się zmieniają . Dzięki.