ZESTAW I
zadanie 1. Wyznacz sumę rozwiązań równania:
\(\displaystyle{ (8z + 1 - i)^2 - 2^7iz^4 = 0.}\)
rozwiązanie
przekształcam do
\(\displaystyle{ -128 i z^4+64 z^2+(16-16 i) z-2 i = 0}\)
czy teraz mogę z wzorów Viete'a wywnioskować, że suma rozwiązań wynosi 0?
zadanie 2. Niech \(\displaystyle{ u_{0} = (1,2,1)}\). Rozważmy odwzorowanie
\(\displaystyle{ f:R^3 \ni v \rightarrow u _{0} \times v \in R^3,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \times}\) oznacza iloczyn wektorowy.a) Uzasadnij, że f jest endomorfizmem.
b) Wyznacz jądro oraz obraz endomorfizmu f.
rozwiązanie
ad a)
sprawdzam warunki
\(\displaystyle{ F(x _{1}) + F(x_{2} = F(x_{1} + x_{2})}\)
\(\displaystyle{ \alpha F(x) = F( \alpha x)}\)
oba wynikają wprost z własności iloczynu wektorowego więc jest to endomorfizm
ad b)
sprawdzam \(\displaystyle{ u_{0} \times z = 0}\)
\(\displaystyle{ u_0 \times z = \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\\i&j&k\end{array}\right| = 0}\)
otrzymujemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2z_{3} - z_{2} = 0 \\ z_{3} - z_{1} = 0 \\ z_{2} - 2z_{1} = 0 \end{cases}}\)
którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ z_{1} = t, z_{2} = 2t, z_{3} = t ; t \in R}\)
więc \(\displaystyle{ ker f = (t,2t,t)}\)
jak teraz zapisać obraz? czy będzie to po prostu \(\displaystyle{ im f = u_0 \times v}\)?
zadanie 3. Rozważmy dwie macierze
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 3&0&4\\0&-1&0\\-2&0&-3\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&-1&1\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)
a) Sprawdź, czy macierze A i B są podobne.
b) Wyznacz macierz \(\displaystyle{ I + A^2 + A^4 ... + A^100}\)
rozwiązanie
ad a)
macierze mają ten sam ślad i wyznacznik więc porównuje macierze Jordana.
wychodzi mi, że \(\displaystyle{ J_{A} = J_{B} = \begin{bmatrix} -1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\) więc są podobne
ad b)
\(\displaystyle{ I + A^2 + A^4 ... + A^(100) = I + PJ^2P^-1 + ... + PJ^100P^-1 = I + P(J^2 + ... + J^100)P^-1 = I + P[49I]P^-1}\)
teraz chce wyznaczyć macierz P, ale mam problem bo wychodzą mi tylko dwa liniowo niezależne wektory główne, nie wiem czy mam jakiś błąd w rachunkach czy trzeba to inaczej zrobić.
zadanie 4. Rozważmy podprzestrzeń liniową
\(\displaystyle{ V = \left\{ (x,y,z) \in R^3: 2x + y - z = 0, x - 2y + z = 0\right\}}\)
przestrzeni\(\displaystyle{ R^3}\). Wyznacz rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ u = (1,-1,1)}\) na podprzestrzeń V. W przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) przyjmij naturalny iloczyn skalarny.rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y = 0 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}}\)
z czego wychodzi mi że\(\displaystyle{ x = t, y = 3t, z = 5t, t \in R}\)
wychodzi mi więc wektor bazowy \(\displaystyle{ e_{1} = (1,3,5)}\)
baza ortogonalna wychodzi mi \(\displaystyle{ \overline{e_{1}} = \sqrt{35}/35 e_{1}}\)
więc \(\displaystyle{ u^* = 3/35(1,3,5)}\)
zadanie 5. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a \in R}\), dla których macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a-1&1&-1\\1&1&-a\\-1&-a&4\end{bmatrix}}\)
ma tylko nieujemne wartości własne.
forma kwadratowa musi więc być dodatnio półokreślona
sprawdzam więc
\(\displaystyle{ a_{11} = a-1 , a_{22} = 1, a_{33}
\begin{bmatrix} a-1&1\\1&1\end{bmatrix} = a-2}\)itd.
nie chce mi się przepisywać na Latexa wszystkie minory główne.
Sprawdzam później przy jakim a wszystkie minory główne są większe lub równe 0 i gotowe.