Baza przecięcia jądra i obrazu przekształcenia liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Browning0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 333
Rejestracja: 2 lis 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy

Baza przecięcia jądra i obrazu przekształcenia liniowego

Post autor: Browning0 »

Witajcie! Bardzo prosiłbym o pomoc w jednym zadanku. Wydaje mi się że początek mam dobry, ale nawet jeżeli, to nie wiem co dalej

Treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ B=\left ( v_{1}, \ldots , v_{5} \right )}\) baza przestrzeni wektorowej V nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), F operator na V, \(\displaystyle{ M^{B}_{B}(F)= \begin{bmatrix}2 &1 &-1 &-2 &1\\ 1 &1 &-1 &-1 &1 \\ 1 &2 &-2 &-1 &2 \\ 2 &1 &-1 &-2 &1 \\ 1 &1 &-1 &-1 &1 \end{bmatrix}}\). Znaleźć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ Ker{F} \cap Im{F}}\) i rozszerzyć ją do bazy \(\displaystyle{ Im{F}}\)

"A więc!"
Pomyślałem że najlepiej na początku będzie znaleźć wektory generujące jądro i obraz. Posłużyłem się do tego sposobem opisanym w tym temacie: 11182.htm

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 &0 &0 &0 &0\\ 0 &1 &0 &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 &1 &-1 &-2 &1\\ 1 &1 &-1 &-1 &1 \\ 1 &2 &-2 &-1 &2 \\ 2 &1 &-1 &-2 &1 \\ 1 &1 &-1 &-1 &1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\hbox{po przekształceniach}} \begin{bmatrix}1 &-1 &0 &0 &0\\ -1 &2 &0 &0 &0 \\ 1&-3 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &1 &0 \\ 0 &-1 &0 &0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &0 &0 &0 &0\\0 &1 &-1 &-1 &1 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ KerF=\mathcal{L}\left( (1,-3,1,0,0),(-1,0,0,1,0),(0,-1,0,0,1)\right) \\ ImF=\mathcal{L} \left( (1,0,0,0,0), (0,1,-1,-1,1)\right)}\)

Od razu można zauważyć że w obu przypadkach te wektory są liniowo niezależne, więc są jednocześnie bazami obrazu i jądra.

Dobra, tylko co dalej? Jak należy wyznaczyć \(\displaystyle{ Ker{F} \cap Im{F}}\)?
Pomocy!
pecea
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 1 lut 2012, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Baza przecięcia jądra i obrazu przekształcenia liniowego

Post autor: pecea »

Czy nie jest tak, że gdyby jakiś wektor należał do \(\displaystyle{ KerF \cap ImF}\), to byłby jednocześnie kombinacją jakiegoś wektora z wektorów tworzących bazy jądra i obrazu? Tj. \(\displaystyle{ \left( (1,-3,1,0,0),(-1,0,0,1,0),(0,-1,0,0,1)\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( (1,0,0,0,0), (0,1,-1,-1,1)\right)}\)? Jeśli tak, to, o ile wiem, możemy to sprawdzić wpisując wektory generujące np jądro do kolumn macierzy i dopisać wektory generujące obraz za kreską. Jeśli otrzymana macierz nie będzie układem sprzeczym, tj nie będzie zawierała wiersza w postaci \(\displaystyle{ \left[0 \ 0 \ \ldots \ 0 \ | \ \neq0\right]}\), to wektory za kreską są kombinacją liniową tych przed.
No a w tym przypadku \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\-3&0&-1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{cc}1&0\\1&-1\\-1&1\\-1&0\\1&-1\end{array}\right]\xrightarrow{przekształcenia}\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\left|\begin{array}{cc}-1&1\\-2&1\\1&-1\\-1&1\\1&-1\end{array}\right]}\) takie wiersze są, wynikałoby z tego, że jądro i obraz nie posiadają części wspólnej. Czy w moim rozumowaniu jest chociaż trochę sensu?
Browning0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 333
Rejestracja: 2 lis 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy

Baza przecięcia jądra i obrazu przekształcenia liniowego

Post autor: Browning0 »

Hmm, czy ktoś mógłby potwierdzić albo obalić pomysł pecea?
ODPOWIEDZ