Treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ B=\left ( v_{1}, \ldots , v_{5} \right )}\) baza przestrzeni wektorowej V nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), F operator na V, \(\displaystyle{ M^{B}_{B}(F)= \begin{bmatrix}2 &1 &-1 &-2 &1\\ 1 &1 &-1 &-1 &1 \\ 1 &2 &-2 &-1 &2 \\ 2 &1 &-1 &-2 &1 \\ 1 &1 &-1 &-1 &1 \end{bmatrix}}\). Znaleźć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ Ker{F} \cap Im{F}}\) i rozszerzyć ją do bazy \(\displaystyle{ Im{F}}\)
"A więc!"
Pomyślałem że najlepiej na początku będzie znaleźć wektory generujące jądro i obraz. Posłużyłem się do tego sposobem opisanym w tym temacie: 11182.htm
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 &0 &0 &0 &0\\ 0 &1 &0 &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 &1 &-1 &-2 &1\\ 1 &1 &-1 &-1 &1 \\ 1 &2 &-2 &-1 &2 \\ 2 &1 &-1 &-2 &1 \\ 1 &1 &-1 &-1 &1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\hbox{po przekształceniach}} \begin{bmatrix}1 &-1 &0 &0 &0\\ -1 &2 &0 &0 &0 \\ 1&-3 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &1 &0 \\ 0 &-1 &0 &0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &0 &0 &0 &0\\0 &1 &-1 &-1 &1 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ KerF=\mathcal{L}\left( (1,-3,1,0,0),(-1,0,0,1,0),(0,-1,0,0,1)\right) \\ ImF=\mathcal{L} \left( (1,0,0,0,0), (0,1,-1,-1,1)\right)}\)
Od razu można zauważyć że w obu przypadkach te wektory są liniowo niezależne, więc są jednocześnie bazami obrazu i jądra.
Dobra, tylko co dalej? Jak należy wyznaczyć \(\displaystyle{ Ker{F} \cap Im{F}}\)?
Pomocy!