baza ortonormalna
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 12 gru 2011, o 22:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
baza ortonormalna
Mam problem z jednym zadaniem, bo nie umiem go rozwiązać. Czy możecie być tak uprzejmi i pokazać jak tego typu zadanie zrobić, abym mógł na poniższym przykładzie się nauczyć? Z góry dziękuję.
ZADANIE
w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R ^{4}}\) rozważamy standardowy iloczyn skalarny. Wyznaczyć bazę ortonormalną podprzestrzeni U opisanej równaniem:
\(\displaystyle{ x _{1} -x _{2} -2x _{3} +2x _{4} =0}\)
ZADANIE
w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R ^{4}}\) rozważamy standardowy iloczyn skalarny. Wyznaczyć bazę ortonormalną podprzestrzeni U opisanej równaniem:
\(\displaystyle{ x _{1} -x _{2} -2x _{3} +2x _{4} =0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
baza ortonormalna
Metoda brutalna:
bierzemy dowolny wektor z tej przestrzeni, \(\displaystyle{ \vec{ \alpha } = \left( a_1,a_2,a_3,a_4 \right)}\) to będzie pierwszy wektor z naszej bazy. Potrzebujemy następnego, musi on być prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{ \alpha }}\), tzn jego współrzędne muszą spełniać dodatkowo (oprócz równań które opisują naszą przestrzeń) równanie \(\displaystyle{ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4=0}\). Dostajemy nowy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} -x _{2} -2x _{3} +2x _{4} =0 \\ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4=0 \end{cases}}\)
Z niego znowu wyznaczamy jakiś wektor (obojętnie jaki, byle niezerowy) i będzie to drugi wektor do naszej bazy ortogonalnej.
Do układu z poprzedniego kroku dokładamy następne równanie którym wymuszamy prostopadłość do pozostałych wektorów które już znaleźliśmy i powtarzamy schemat, aż nie uzyskamy całej bazy (w tym przypadku trzech wektorów).
W ten sposób otrzymujemy bazę ortogonalną, a skoro potrzebujemy bazy ortogonalnej to jeszcze normalizujemy nasze wektory z bazy.
Sposób niezbyt wyrafinowany, ale działa zawsze w tego typu zadaniach (nie ważne czy mamy do czynienia ze standardowym iloczynem skalarnym, czy inną formą dwuliniową symetryczną)
bierzemy dowolny wektor z tej przestrzeni, \(\displaystyle{ \vec{ \alpha } = \left( a_1,a_2,a_3,a_4 \right)}\) to będzie pierwszy wektor z naszej bazy. Potrzebujemy następnego, musi on być prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{ \alpha }}\), tzn jego współrzędne muszą spełniać dodatkowo (oprócz równań które opisują naszą przestrzeń) równanie \(\displaystyle{ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4=0}\). Dostajemy nowy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} -x _{2} -2x _{3} +2x _{4} =0 \\ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4=0 \end{cases}}\)
Z niego znowu wyznaczamy jakiś wektor (obojętnie jaki, byle niezerowy) i będzie to drugi wektor do naszej bazy ortogonalnej.
Do układu z poprzedniego kroku dokładamy następne równanie którym wymuszamy prostopadłość do pozostałych wektorów które już znaleźliśmy i powtarzamy schemat, aż nie uzyskamy całej bazy (w tym przypadku trzech wektorów).
W ten sposób otrzymujemy bazę ortogonalną, a skoro potrzebujemy bazy ortogonalnej to jeszcze normalizujemy nasze wektory z bazy.
Sposób niezbyt wyrafinowany, ale działa zawsze w tego typu zadaniach (nie ważne czy mamy do czynienia ze standardowym iloczynem skalarnym, czy inną formą dwuliniową symetryczną)
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
baza ortonormalna
Wyznacz jakiś wektor z tej przestrzeni i napisz kiedy będzie prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2,x_3,x_4 \right)}\) (tu, na forum)
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 12 gru 2011, o 22:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
baza ortonormalna
Nie wiem czy dobrze zrobiłem, zobaczymy,
\(\displaystyle{ x _{1} -2x _{3} +2x _{4} =x _{2}}\)
\(\displaystyle{ a _{1}x _{1} +a _{2} (x _{1} -2x _{3} +2x _{4} )+a _{3}x _{3} +a _{4} x _{4} =0}\)
Zatem \(\displaystyle{ \vec{a}=\left\{ 1,-1,-2,2\right\}}\) ?
\(\displaystyle{ x _{1} -2x _{3} +2x _{4} =x _{2}}\)
\(\displaystyle{ a _{1}x _{1} +a _{2} (x _{1} -2x _{3} +2x _{4} )+a _{3}x _{3} +a _{4} x _{4} =0}\)
Zatem \(\displaystyle{ \vec{a}=\left\{ 1,-1,-2,2\right\}}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
baza ortonormalna
Nie, wyznacz jakiś konkretny wektor z tej przestrzeni. Niech będzie to np. \(\displaystyle{ \left( 1,1,0,0 \right)}\). Teraz, kiedy wektory \(\displaystyle{ \left( 1,1,0,0 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2,x_3,x_4 \right)}\) są prostopadłe?
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 12 gru 2011, o 22:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
baza ortonormalna
o ile pamiętam, to kiedy iloczyn skalarny równa się zero, w tym przypadku np (-1,1,0,0), lub (1,-1,0,0).
Ale nie wiem skad wziałeś ten wektor (1,1,0,0)
Ale nie wiem skad wziałeś ten wektor (1,1,0,0)
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
baza ortonormalna
Wziąłem pierwszy z brzegu wektor z przestrzeni opisanej równaniem \(\displaystyle{ x _{1} -x _{2} -2x _{3} +2x _{4} =0}\)
Masz dwa wektory: \(\displaystyle{ \left( 1,1,0,0 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2,x_3,x_4 \right)}\). Kiedy będą prostopadłe?
Masz dwa wektory: \(\displaystyle{ \left( 1,1,0,0 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2,x_3,x_4 \right)}\). Kiedy będą prostopadłe?
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 12 gru 2011, o 22:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
baza ortonormalna
no kiedy
\(\displaystyle{ \left\{ x _{1} *1+x _{2} *1+x _{3} *0+x _{4} *0\right\} =0}\)
zatem kiedy \(\displaystyle{ \vec{x} =\left\{1,-1,0,0 \right\}}\)
zgadza się?
\(\displaystyle{ \left\{ x _{1} *1+x _{2} *1+x _{3} *0+x _{4} *0\right\} =0}\)
zatem kiedy \(\displaystyle{ \vec{x} =\left\{1,-1,0,0 \right\}}\)
zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
baza ortonormalna
\(\displaystyle{ \left( 1,1,0,0 \right) \circ \left( x_1,x_2,x_3,x_4 \right) = 0}\)
Czyli wtedy gdy \(\displaystyle{ x_1+x_2=0}\)
Rozumiesz to?
Czyli wtedy gdy \(\displaystyle{ x_1+x_2=0}\)
Rozumiesz to?
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
baza ortonormalna
Idea, jest taka, że bierzemy równanie opisujące przestrzeń i wyznaczamy dowolny (najlepiej jak najprostszy) wektor z tej przestrzeni. Potem z warunku na prostopadłość wektorów dostajemy dodatkowe równanie które dołączamy do pierwotnego i wyznaczamy znowu dowolny wektor.
Bierzemy teraz ten drugi wektor i z warunku na prostopadłość dostajemy kolejne równanie które dołączamy do poprzedniego układu równań (dostaniemy w sumie już trzy równania), i z tego nowego układu znowu wyznaczamy dowolny wektor. W efekcie otrzymamy trzy wektory które tworzą prostopadłą bazę. Do pełni szczęścia potrzeba nam jeszcze normalizacji tych wektorów, ale to już chyba wiesz jak zrobić.
Algorytm opiera się na tym, że z każde kolejne równanie które dołączamy do układu równań gwarantuje nam to, że następne wyznaczone przez nas wektory będą prostopadłe do tych które już mamy i oczywiście będą należeć do naszej przestrzeni, bo to gwarantuje pierwotne równanie. Wiadomo też, że w \(\displaystyle{ n}\) wymiarowej przestrzeni, układ \(\displaystyle{ n}\) prostopadłych wektorów jest bazą.
Bierzemy teraz ten drugi wektor i z warunku na prostopadłość dostajemy kolejne równanie które dołączamy do poprzedniego układu równań (dostaniemy w sumie już trzy równania), i z tego nowego układu znowu wyznaczamy dowolny wektor. W efekcie otrzymamy trzy wektory które tworzą prostopadłą bazę. Do pełni szczęścia potrzeba nam jeszcze normalizacji tych wektorów, ale to już chyba wiesz jak zrobić.
Algorytm opiera się na tym, że z każde kolejne równanie które dołączamy do układu równań gwarantuje nam to, że następne wyznaczone przez nas wektory będą prostopadłe do tych które już mamy i oczywiście będą należeć do naszej przestrzeni, bo to gwarantuje pierwotne równanie. Wiadomo też, że w \(\displaystyle{ n}\) wymiarowej przestrzeni, układ \(\displaystyle{ n}\) prostopadłych wektorów jest bazą.
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 12 gru 2011, o 22:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
baza ortonormalna
ok, dziękuję, już umiem to zrobić. Trochę inaczej niż opisałeś, ale umiem. Dam jeszcze jeden temat, z innym przykładem, wiec jesli chciałbyś dalej mi pomóc, z góry dziękuję
-- 3 lut 2012, o 13:14 --
\(\displaystyle{ -x _{2} -2x _{3} +2x _{4} =x _{1}}\)
Mam wektor \(\displaystyle{ \vec{x} =(x _{1},x _{2},x _{3},x _{4})}\)
pod \(\displaystyle{ x _{1}}\) wstawiam, to pierwsze, robię z tego bazę i mam 3 wektory. wektory to:
\(\displaystyle{ v_{1}=(1,1,0,0)
v_{2}=(2,0,1,0)
v_{3}=(-2,0,0,1)}\)
a dalej to juz wiadomo
takie coś mój wykładowca zaliczył komuś.
-- 3 lut 2012, o 13:14 --
\(\displaystyle{ -x _{2} -2x _{3} +2x _{4} =x _{1}}\)
Mam wektor \(\displaystyle{ \vec{x} =(x _{1},x _{2},x _{3},x _{4})}\)
pod \(\displaystyle{ x _{1}}\) wstawiam, to pierwsze, robię z tego bazę i mam 3 wektory. wektory to:
\(\displaystyle{ v_{1}=(1,1,0,0)
v_{2}=(2,0,1,0)
v_{3}=(-2,0,0,1)}\)
a dalej to juz wiadomo
takie coś mój wykładowca zaliczył komuś.