Przekształcenie liniowe...

croire · Post autor: **croire** » 1 lut 2012, o 22:31

Dane jest przekształcenie liniowe: \(\displaystyle{ T:R^2 \rightarrow R^3}\) takie, że \(\displaystyle{ T(3,4)=(3,5,7), T(4,5)=(4,7,9)}\)Znaleźć wzór na \(\displaystyle{ T(x_1,x_2)}\)dla dowolnych \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in R}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 1 lut 2012, o 22:43

Zauważ, że wektory \(\displaystyle{ (3,4)}\) i \(\displaystyle{ (4,5)}\) stanowią bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). A zatem jeśli przedstawimy dowolny wektor \(\displaystyle{ (x,y)}\) jako kombinację liniową tych dwóch wektorów, to mamy gotowy wzór na przekształcenie liniowe. Tyle wskazówki. Dobranoc.

croire · Post autor: **croire** » 1 lut 2012, o 22:49

przepraszam, ale nic mi to nie mówi

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 2 lut 2012, o 08:24

Czas, żeby zaczęło. Przeczytaj twierdzenie o określaniu przekształceń liniowych w przestrzeniach skończenie wymiarowych. Ogólnie, w każdej przestrzeni liniowej, aby znać odwzorowanie liniowe, wystarczy znać jego wartości na bazie.

JA bym to zadanie tak zrobił: przedstawiłbym wektory bazy kanonicznej \(\displaystyle{ (1,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1)}\) w postaci kombinacji liniowych wektorów bazy \(\displaystyle{ (3,4)}\) i \(\displaystyle{ (4,5),}\) potem policzyłbym wartości \(\displaystyle{ T(1,0)}\) i \(\displaystyle{ T(0,1)}\), a następnie otrzymałbym wzór analityczny na nasze odwzorowanie.

Można też nieco inaczej.

Wiedząc, że

\(\displaystyle{ T(x,y)=(ax+by,cx+dy,ex+fy)}\)

i znając \(\displaystyle{ T(3,4),\;T(4,5)}\) moźna ułożyć układ równań na współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f.}\) Tutaj korzysta się z ogólnej postaci odwzorowania liniowego w przestrzeniach skończenie wymiarowych.