Znajdz macierz
-
olgalagowska
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 28 paź 2010, o 13:05
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 8 razy
Znajdz macierz
Znajdz macierz odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ P_3(R)}\), ktore \(\displaystyle{ F(p(t))=p''(t)+p'(t)+p(t)}\) w bazie standardowej \(\displaystyle{ {1, t, t^2}}\).
-
adambak
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Znajdz macierz
\(\displaystyle{ p(t)=a_0+a_1 t + a_2 t^2}\)
\(\displaystyle{ p'(t)=a_1 + 2a_2 t}\)
\(\displaystyle{ p''(t)=2a_2}\)
\(\displaystyle{ F(p(t))=2a_2+a_1+2a_2t + a_0+a_1 t + a_2 t^2=a_0+a_1(1+t)+a_2(2+2t+t^2)=(a_0+a_1+2a_2) + t(a_1+2a_2)+a_2t^2}\)
no to jeśli macierz bazy standardowej utożsamimy z \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1\\t\\t^2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\) to macierz tego przekształcenia znajdujemy szukając rozwinięć kolejnych wyrazów w tej bazie, koniec końców mamy:
\(\displaystyle{ F=\begin{bmatrix} 1&1&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
coś mi tutaj nie pasuje, ale chyba jest ok..
-- 1 lut 2012, o 16:39 --
mam nadzieję, że jest ok..
-- 1 lut 2012, o 17:11 --
moja argumentacja jest taka: skoro \(\displaystyle{ F(a_0+a_1t+a_2t^2)=(a_0+a_1+2a_2) + t(a_1+2a_2)+a_2t^2}\) to wobec powyższej interpretacji bazy wielomianów oraz przedstawienia argumentu jako wektor \(\displaystyle{ \left[ a_0, a_1t, a_2t^2 \right]^T}\) jego współczynników otrzymamy przekształcenie liniowe dane wzorem: \(\displaystyle{ F\cdot p(t) = \begin{bmatrix} 1&1&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a_0\\a_1t\\a_2t^2\end{bmatrix}}\) co po wymnożeniu daje porządaną wartość (czyli wektor kolejnych współczynników wielomianu jaki zwraca dane przekształcenie)..
-- 1 lut 2012, o 17:13 --
a więc się zgadza, ale moja niepewność jest stąd, że w różnych miejscach spotkałem różną interpretację bazy wielomianów co było mylące..
-- 1 lut 2012, o 18:44 --
ok, jest napewno dobrze..-- 2 lut 2012, o 17:54 --
\(\displaystyle{ p'(t)=a_1 + 2a_2 t}\)
\(\displaystyle{ p''(t)=2a_2}\)
\(\displaystyle{ F(p(t))=2a_2+a_1+2a_2t + a_0+a_1 t + a_2 t^2=a_0+a_1(1+t)+a_2(2+2t+t^2)=(a_0+a_1+2a_2) + t(a_1+2a_2)+a_2t^2}\)
no to jeśli macierz bazy standardowej utożsamimy z \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1\\t\\t^2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\) to macierz tego przekształcenia znajdujemy szukając rozwinięć kolejnych wyrazów w tej bazie, koniec końców mamy:
\(\displaystyle{ F=\begin{bmatrix} 1&1&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
coś mi tutaj nie pasuje, ale chyba jest ok..
-- 1 lut 2012, o 16:39 --
mam nadzieję, że jest ok..
-- 1 lut 2012, o 17:11 --
moja argumentacja jest taka: skoro \(\displaystyle{ F(a_0+a_1t+a_2t^2)=(a_0+a_1+2a_2) + t(a_1+2a_2)+a_2t^2}\) to wobec powyższej interpretacji bazy wielomianów oraz przedstawienia argumentu jako wektor \(\displaystyle{ \left[ a_0, a_1t, a_2t^2 \right]^T}\) jego współczynników otrzymamy przekształcenie liniowe dane wzorem: \(\displaystyle{ F\cdot p(t) = \begin{bmatrix} 1&1&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a_0\\a_1t\\a_2t^2\end{bmatrix}}\) co po wymnożeniu daje porządaną wartość (czyli wektor kolejnych współczynników wielomianu jaki zwraca dane przekształcenie)..
-- 1 lut 2012, o 17:13 --
a więc się zgadza, ale moja niepewność jest stąd, że w różnych miejscach spotkałem różną interpretację bazy wielomianów co było mylące..
-- 1 lut 2012, o 18:44 --
ok, jest napewno dobrze..-- 2 lut 2012, o 17:54 --
adambak pisze:\(\displaystyle{ p(t)=a_0+a_1 t + a_2 t^2}\)
\(\displaystyle{ p'(t)=a_1 + 2a_2 t}\)
\(\displaystyle{ p''(t)=2a_2}\)
\(\displaystyle{ F(p(t))=2a_2+a_1+2a_2t + a_0+a_1 t + a_2 t^2=a_0+a_1(1+t)+a_2(2+2t+t^2)=(a_0+a_1+2a_2) + t(a_1+2a_2)+a_2t^2}\)
no to jeśli macierz bazy standardowej utożsamimy z \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1\\t\\t^2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\) to macierz tego przekształcenia znajdujemy szukając rozwinięć kolejnych wyrazów w tej bazie, koniec końców mamy:
\(\displaystyle{ F=\begin{bmatrix} 1&1&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
coś mi tutaj nie pasuje, ale chyba jest ok..
-- 1 lut 2012, o 16:39 --
mam nadzieję, że jest ok..
-- 1 lut 2012, o 17:11 --
moja argumentacja jest taka: skoro \(\displaystyle{ F(a_0+a_1t+a_2t^2)=(a_0+a_1+2a_2) + t(a_1+2a_2)+a_2t^2}\) to wobec powyższej interpretacji bazy wielomianów oraz przedstawienia argumentu jako wektor \(\displaystyle{ \left[ a_0, a_1, a_2 \right]^T}\) jego współczynników otrzymamy przekształcenie liniowe dane wzorem: \(\displaystyle{ F\cdot p(t) = \begin{bmatrix} 1&1&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a_0\\a_1\\a_2\end{bmatrix}}\) co po wymnożeniu daje porządaną wartość (czyli wektor kolejnych współczynników wielomianu jaki zwraca dane przekształcenie)..
-- 1 lut 2012, o 17:13 --
a więc się zgadza, ale moja niepewność jest stąd, że w różnych miejscach spotkałem różną interpretację bazy wielomianów co było mylące..
-- 1 lut 2012, o 18:44 --
ok, jest napewno dobrze..