Zbior wielomianow
-
olgalagowska
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 28 paź 2010, o 13:05
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 8 razy
Zbior wielomianow
Niech \(\displaystyle{ V}\) bedzie zbiorem wszystkich wielomianow \(\displaystyle{ p(x)}\), ktorych \(\displaystyle{ deg \le 4}\), takich \(\displaystyle{ p(0)+p'(1)=p(1)=0}\) (gdzie \(\displaystyle{ p'(x)}\) oznacza pochodna \(\displaystyle{ p(x)}\)). Wykaz, ze \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenia liniowa i znajdz baze dla \(\displaystyle{ V}\).
-
szw1710
Zbior wielomianow
To, że \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową, trywialnie wynika z liniowości pochodnej: jeśli \(\displaystyle{ p,q,\in V,\;\alpha,\beta\in\mathbb{R},}\) to dla \(\displaystyle{ r=\alpha p+\beta q}\) mamy (łatwe sprawdzenie) \(\displaystyle{ r(0)+r'(1)=r(1)=0.}\)
Wymiaru i bazy jeszcze nie znam, ale poznam. Na pewno jest to przestrzeń co najwyżej pięciowymiarowa. Jednakże nie jest to cała przestrzeń wielomianów, więc ma wymiar co najwyżej 4.
Warunek \(\displaystyle{ p(1)=0}\) wskazuje na postać \(\displaystyle{ p(x)=(x-1)(ax^3+bx^2+cx+d),}\) a warunek \(\displaystyle{ p(0)+p'(1)=0}\) daje \(\displaystyle{ a+b+c=0,}\) czyli \(\displaystyle{ c=-(a+b).}\) Oznacza to, że
\(\displaystyle{ p\in V\iff p(x)=(x-1)\bigl(ax^3+bx^2-(a+b)x+d\bigr).}\)
Sugeruje to trójwymiarowość podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\) (opisują ją trzy parametry). Stąd już łatwo będzie znaleźć bazę. Potrzebujesz trzech liniowo niezależnych wielomianów z \(\displaystyle{ V}\), które ją rozpinają.
Biorąc w roli \(\displaystyle{ (a,b,d)}\) trzy liniowo niezależne wektory \(\displaystyle{ (1,-1,0),\;(0,1,0),\;(0,0,1)}\) otrzymujemy odpowiednio wielomiany
\(\displaystyle{ (x-1)(x^3-x^2),\;(x-1)(x^3-x),\;x-1}\)
o których naprawdę łatwo pokazać, że stanowią bazę \(\displaystyle{ V}\). Tę ostatnią rzecz zostawiam Tobie.
Wymiaru i bazy jeszcze nie znam, ale poznam. Na pewno jest to przestrzeń co najwyżej pięciowymiarowa. Jednakże nie jest to cała przestrzeń wielomianów, więc ma wymiar co najwyżej 4.
Warunek \(\displaystyle{ p(1)=0}\) wskazuje na postać \(\displaystyle{ p(x)=(x-1)(ax^3+bx^2+cx+d),}\) a warunek \(\displaystyle{ p(0)+p'(1)=0}\) daje \(\displaystyle{ a+b+c=0,}\) czyli \(\displaystyle{ c=-(a+b).}\) Oznacza to, że
\(\displaystyle{ p\in V\iff p(x)=(x-1)\bigl(ax^3+bx^2-(a+b)x+d\bigr).}\)
Sugeruje to trójwymiarowość podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\) (opisują ją trzy parametry). Stąd już łatwo będzie znaleźć bazę. Potrzebujesz trzech liniowo niezależnych wielomianów z \(\displaystyle{ V}\), które ją rozpinają.
Biorąc w roli \(\displaystyle{ (a,b,d)}\) trzy liniowo niezależne wektory \(\displaystyle{ (1,-1,0),\;(0,1,0),\;(0,0,1)}\) otrzymujemy odpowiednio wielomiany
\(\displaystyle{ (x-1)(x^3-x^2),\;(x-1)(x^3-x),\;x-1}\)
o których naprawdę łatwo pokazać, że stanowią bazę \(\displaystyle{ V}\). Tę ostatnią rzecz zostawiam Tobie.