Macierze - wykaz

[olgalagowska]

Niech \(\displaystyle{ M}\) bedzie zbiorem wszystkich 2 na 3 macierzy \(\displaystyle{ A}\), takich ze

\(\displaystyle{ A \cdot \begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\0 \end{pmatrix}}\).

Pokaz, ze \(\displaystyle{ M}\) tworzy podprzestrzen liniowa dla przestrzeni liniowej wszystkich 2 na 3 macierzy. Znajdz baze dla \(\displaystyle{ M}\).

[adambak]

niech \(\displaystyle{ A\in M}\), wtedy \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\\x_4&x_5&x_6\end{array}\right]}\) oraz \(\displaystyle{ A\cdot \left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\) z czego otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_4+x_5+x_6=0 \end{cases}}\)

no to już masz po rozpisaniu bazę (wymiar widać, że będzie równy \(\displaystyle{ 4}\))



co do tego, że podprzestrzeń.. niech \(\displaystyle{ A,B\in M}\) pytamy się czy \(\displaystyle{ A+B\in M}\)

wiemy, że \(\displaystyle{ A\cdot\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)

oraz \(\displaystyle{ B\cdot\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)

no to \(\displaystyle{ (A+B)\cdot\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]=A\cdot\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]+B\cdot\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}}\), czyli się zgadza \(\displaystyle{ A+B\in M}\)..

dla dowolnego skalaru \(\displaystyle{ \alpha}\) sprawdzamy czy jesli \(\displaystyle{ A\in M}\) to \(\displaystyle{ \alpha A\in M}\), istotnie:

\(\displaystyle{ A\cdot\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]=\vec{0}}\)

to \(\displaystyle{ \alpha A\cdot\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]=\alpha \cdot \vec{0}=\vec{0}}\), czyli ok \(\displaystyle{ \alpha A\in M}\)..

[olgalagowska]

Mam problem z ustaleniem przykladowej bazy dla \(\displaystyle{ M}\).

I zastanawiam sie rowniez jak widac ze wymiar bedzie rowny 4?

[adambak]

Mam problem z ustaleniem przykladowej bazy dla \(\displaystyle{ M}\).

I zastanawiam sie rowniez jak widac ze wymiar bedzie rowny 4?

z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_4+x_5+x_6=0 \end{cases}}\)
jest sześć zmiennych i dwa "punkty zaczepienia" (stąd wywnioskowałem wymiar \(\displaystyle{ 4}\)).. istotnie rozwiązując:

\(\displaystyle{ x_3=-x_1-x_2; \ x_6=-x_4-x_5}\)

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\\x_4&x_5&x_6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x_1&x_2&-x_1-x_2\\x_4&x_5&-x_4-x_5\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&0&0\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&0&0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right]+x_5\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&-1\end{array}\right]}\)

macierze z jedynkami i zerami powyżej stanowią najprostszą przykładową bazę..