Wykaz ze p(x) jest baza

[olgalagowska]

Pokaz, ze wielomiany \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ x+1}\), \(\displaystyle{ x^2+1}\),...,\(\displaystyle{ x^n+1}\) tworza baze w przestrzeni \(\displaystyle{ P_n}\) wszystkich wielomianow \(\displaystyle{ deg \le n}\). Podaj wspolrzedne wielomanu \(\displaystyle{ p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n}\) w tej bazie.

[szw1710]

Jeśli wektory \(\displaystyle{ u,v}\) są liniowo niezależne, to \(\displaystyle{ u,u+v}\) też są liniowo niezależne. Ponadto rozpinają tę samą przestrzeń. A zatem, skoro jednomiany \(\displaystyle{ 1,x,\dots,x^n}\) są bazą, to przesunięte o \(\displaystyle{ 1}\) też są bazą. Współrzędne liczymy trywialnie. Np. jednomian \(\displaystyle{ ax^k}\) przedstawiamy jako \(\displaystyle{ a(x^k+1-1)=a(x^k+1)-a.}\)