Rząd macierzy układu, rząd macierzy rozszerzonej układu

[czarny91]

Witam. Czy mógłby ktoś po kolei wytłumaczyć mi jak zrobić to zadanie:

Obliczyć rząd macierzy układu oraz rząd macierzy rozszerzonej układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y-z=1\\2x-y+z=2\\x+2y-3z=3 \end{array}}\)

Przyznam się, że czytając co to jest rząd macierzy i rząd macierzy rozszerzonej trudno zrozumieć. Dlatego proszę o wytłumaczenie tego na tym konkretnym przykładzie, miałem to na sprawdzianie i nie wiedziałem jak to zrobić. Dziękuje za pomoc.

[adambak]

dziwne, że chcą tylko rzędy, ale ok..

mamy układ równań, a więc równanie postaci: \(\displaystyle{ A\cdot \vec{x}=\vec{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{x}}\) to wektor niewiadomych, a \(\displaystyle{ \vec{b}}\) to wektor rozwiązań.. czyli:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&-1&1\\1&2&-3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]}\)

prawda, że po wymnożeniu się zgadza? no, to macierz układu to \(\displaystyle{ A}\), a macierz rozszerzona układu to \(\displaystyle{ [A, \vec{b}]}\), czyli dokładasz jedną kolumnę z prawej.. obliczenie rzędu tych macierzy raczej nie jest trudne, prawda? pewnie chcą mieć to policzone, żeby wyciągnąć wnioski z tw Kroneckera-Capellego..

[czarny91]

W poleceniu było jeszcze: Następnie rozwiązać ten układ równań (ja to zrobiłem ze wzorów Cramera).

Czy dobrze rozumiem:

macierz układu (A): \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&-1&1\\1&2&-3\end{array}\right]\]}\)

a macierz rozszerzona układu to macierz układu (A) pomożona przez wektory rozwiązań?

Niestety, ale dalej nie wiem jak obliczyć te rzędy. Jak to zrobić?

[adambak]

W poleceniu było jeszcze: Następnie rozwiązać ten układ równań (ja to zrobiłem ze wzorów Cramera).

i bardzo dobrze, też bym tak zrobił, z tak małą macierzą to fajna metoda..

Czy dobrze rozumiem:

macierz układu (A): \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&-1&1\\1&2&-3\end{array}\right]\]}\)

a macierz rozszerzona układu to macierz układu (A) pomożona przez wektory rozwiązań?

niestety bardzo nie o to mi chodziło.. jeszcze raz.. macierz układu to: \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&-1&1\\1&2&-3\end{array}\right]}\), a macierz rozszerzona układu to \(\displaystyle{ [A, \vec{b}]=\left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&1\\2&-1&1&2\\1&2&-3&3\end{array}\right]}\).. zauważ, że napisałem \(\displaystyle{ [A, \vec{b}]}\) może trochę nieformalnie faktycznie, ale nie ma tam żadnego mnożenia, tylko przecinek.. wobec tego do macierzy \(\displaystyle{ A}\) dokładamy jedną kolumnę z prawej którą jest wektor \(\displaystyle{ \vec{b}}\)..

Niestety, ale dalej nie wiem jak obliczyć te rzędy. Jak to zrobić?

operacjami elementarnymi doprowadź macierz do postaci schodkowej.. rząd macierzy to ilość liniowo niezależnych kolumn, które po tym algorytmie zostaną w macierzy.. jest to dosyć schematyczne działanie, opisane chociażby na wikipedii..

[czarny91]

Mógłbyś mi pokazać jak właśnie to zrobić? Chodzi mi o wytłumaczenie tego na jednym konkretnym przykładzie, to będe wiedział jak zrobić następne. Będe bardzo wdzięczny (chodzi o rząd macierzy układu i rzad macierzy rozszerzonej układu).

[adambak]

no niech Ci będzie.. obliczę rząd macierzy \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&-1&1\\1&2&-3\end{array}\right]}\), bo jest mała, a chodzi o sposób, drugą robi się identycznie..

operacje elementarne: \(\displaystyle{ w_i}\) to i-ty wiersz, oraz \(\displaystyle{ k_i}\) to i-ta kolumna..

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&-1&1\\1&2&-3\end{array}\right] \rightarrow ^{w_2:=w_2-2w_1; \ w_3:=w_3-w_1} \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&-3&3\\0&1&-2\end{array}\right] \rightarrow ^{w_2 \Leftrightarrow w_3} \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&1&-2\\0&-3&3\end{array}\right] \rightarrow ^{w_3:=w_3+3w_2} \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&1&-2\\0&0&-3\end{array}\right]}\)

czyli zwykła eliminacja Gaussa.. zostały nam trzy liniowo niezależne wiersze w tej macierzy (chyba się zgodzisz, że już żadnego nie można wyzerować, bo nie ma jak), a więc rząd tej macierzy jest równy \(\displaystyle{ 3}\)..

[czarny91]

czyli zwykła eliminacja Gaussa.. zostały nam trzy liniowo niezależne wiersze w tej macierzy (chyba się zgodzisz, że już żadnego nie można wyzerować, bo nie ma jak), a więc rząd tej macierzy jest równy \(\displaystyle{ 3}\)..

Nie wiem po co te wyrazy macierzy trzeba zerować... Te działania na wierszach nic nie zmieniają, można je robić dowolnie? Słowo "liniowo niezależne" jest też dla mnie niezrozumiałe i nie wiele mi mówi. Dlaczego nie można wyzerować, skąd to wiemy na pewno (jak każde działanie można na wierszach wykonywać). I ten rząd macierzy jest równy ilości tych zer w przekształconej macierzy?

Chyba jestem za głupi by to zrozumieć. Ale dziękuje za pomoc i cierpliwość. Muszę gdzieś indziej chyba tego poszukać.

[bemekw]

czyli zwykła eliminacja Gaussa.. zostały nam trzy liniowo niezależne wiersze w tej macierzy (chyba się zgodzisz, że już żadnego nie można wyzerować, bo nie ma jak), a więc rząd tej macierzy jest równy \(\displaystyle{ 3}\)..

Nie wiem po co te wyrazy macierzy trzeba zerować... Te działania na wierszach nic nie zmieniają, można je robić dowolnie?

Tak, operacje na wierszach nie zmieniają rzędu macierzy(jest do tego odpowiednie twierdzenie) - tak samo jak operacje na kolumnach nie zmieniają jądra macierzy.

Słowo "liniowo niezależne" jest też dla mnie niezrozumiałe i nie wiele mi mówi.

Po prostu - jeśli masz dwa wektory to są one liniowo niezależne wtw gdy jednego z nich nie da się przedstawić jako komibnację liniową drugiego. Definicyjnie, \(\displaystyle{ \vec{x_1}, \vec{x_2}}\) są lnz wtw \(\displaystyle{ \neg \bigvee \alpha,\beta \in K: \alpha \cdot \vec{x_1} + \beta \cdot \vec{x_2} = \vec{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \neq 0 \vee \beta \neq 0}\)

Dlaczego nie można wyzerować, skąd to wiemy na pewno (jak każde działanie można na wierszach wykonywać). I ten rząd macierzy jest równy ilości tych zer w przekształconej macierzy?

Nie, nie każde operacje możemy. Chociażby nie można brać zerowej wielokrotności żadnego wiersza. Tj. nie możesz zrobić coś takiego jak \(\displaystyle{ w_1 := 0 \cdot w_1}\)
Jest też małe twierdznie - macierz utworzona z wektorów w postaci trójkątnej (jak mamy daną już po przekształceniach) posiada wyznacznik różny od zera (czuyli iloczyn elementów na przekątnej) to układ wektorów, które składają się na kolumny jest lnz.

Rząd to liczba wierszów niezerowaych.

[adambak]

[...] operacje na kolumnach nie zmieniają jądra macierzy.

to jest nieprawda.. operacje elementarne na kolumnach zmieniają jądro macierzy.. nie zmieniają jej obrazu..
operacje elementarne na wierszach na odwrót.. właśnie dlatego szukając jądra macierzy, a więc rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ A\cdot \vec{x}=0}\) przeprowadzamy eliminację Gaussa - bo operacje elementarne na wierszach nie zmieniają jądra macierzy..

zarówno operacje elementarne na wierszach jak i kolumnach macierzy nie zmieniają rzędu macierzy (do autora wątku)..

Jest też małe twierdznie - macierz utworzona z wektorów w postaci trójkątnej (jak mamy daną już po przekształceniach) posiada wyznacznik różny od zera (czuyli iloczyn elementów na przekątnej) to układ wektorów, które składają się na kolumny jest lnz.

tutaj bym uważał, co do tego iloczynu.. jest to prawie prawda, bo z dokładnością do znaku.. przypomnij sobie mój post z wczoraj w jednym z tematów na obliczenie prostego wyznacznika macierzy \(\displaystyle{ n\times n}\) (w którym tez pisałeś)

[bemekw]

No tak głupi błąd Dlatego jądro warto kojarzyć z eliminacją gauss'a