Określenie wymiaru podprzestrzeni; wymiar i baza przestrzeni

[Sunmile]

1) Określić wymiar podprzestrzeni: \(\displaystyle{ U= \alpha ([2, −6], [−1, 3], [0, 0])}\)
2)Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ F : R^5 \rightarrow R^3; F([x, y, z, t, u]) := [x-y + z-t + u, x + y + z + t + u, x + z + u].}\) Wyznaczyć wymiar i bazę przestrzeni KerF i ImF

[adambak]

1) sprowadza się to do obliczenia rzędu macierzy: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\6&3&0\end{array}\right]}\)

2) coś jest nie tak, bo to przekształcenie nie jest liniowe..

[Sunmile]

Już zmieniłem, pozjadało minusy przy kopiowaniu

[adambak]

2) ok, teraz jest w porządku.. zauważ, że macierz tego przekształcenia w bazie standardowej to \(\displaystyle{ f=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1&1&-1&1\\1&1&1&1&1\\1&0&1&0&1\end{array}\right]}\).. a więc zadanie sprowadza się do znalezienia jądra i obrazu tej macierzy, co już jest bardzo schematyczne..

[Sunmile]

Właśnie tego nie umiem. Wszystkie te akademickie podręczniki do algebry są jakieś ubogie, algebra liniowa kończy się na bazach >.>

[adambak]

w tym konkretnym przypadku dla macierzy \(\displaystyle{ f}\):
1) obraz macierzy: \(\displaystyle{ \mathcal{R}(f)=\left\{ f\vec{x} : \vec{x} \in R^5 \right\}}\)
2) jądro macierzy: \(\displaystyle{ \mathcal{N}(f)=\left\{ \vec{x}\in R^5 : f\vec{x}=0\right\}}\)

a więc w 1) doprowadzasz operacjami elementarnymi na kolumnach macierzy, tą macierz do postaci schodkowej i baza obrazu to na przykład liniowo niezależne wektory, które po tym działaniu zostaną w macierzy..

w 2) eliminacja Gaussa i rozwiązanie tego układu równań..