Macierze, układ równań, wymiar przestrzeni

[Browning0]

Co by nie przedłużać. Mam rozszerzoną macierz układu współrzędnych (ostatnia kolumna oznacza wyrazy wolne):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&a&-1&-2b+4&|6\\0&1&-1&-b+2&|5\end{bmatrix}}\)

I moje pytanka:
1) Czy da się tę macierz jeszcze jakoś bardziej zredukować? Chyba już nie da się z tym nic zrobić, prawda? Myślałem żeby podzielić drugi rząd przez "a", ale to musiałbym wprowadzić założenie że \(\displaystyle{ a \neq 0}\), a tego nie mogę zrobić.
2) Znaleźć wszystkie wartości parametrów a,b, dla których układ jest sprzeczny: czy jedyną odpowiedzią jest \(\displaystyle{ a=1, \ b=2}\)?


I od razu pytanie też w temacie macierzy. Mam macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&-s+5\\0&1&0&2s-7\\0&0&1&s-3\end{bmatrix}}\)
I muszę wyznaczyć wymiar przestrzeni generowanej przez wektory z tej macierzy w zależności od s. Dobrze wnioskuję że \(\displaystyle{ dimV=3}\) niezależnie od s?

Pozdrawiam!

[adambak]

1) Czy da się tę macierz jeszcze jakoś bardziej zredukować? Chyba już nie da się z tym nic zrobić, prawda? Myślałem żeby podzielić drugi rząd przez "a", ale to musiałbym wprowadzić założenie że \(\displaystyle{ a \neq 0}\), a tego nie mogę zrobić.

redukcja do postaci schodkowej jest zawsze wskazana.. rozważ dwa przypadki i rozpatrz je oddzielnie, tzn kiedy \(\displaystyle{ a=0}\) oraz kiedy \(\displaystyle{ a \neq 0}\) (wtedy możesz podzielić przez \(\displaystyle{ a}\) i dalej zredukować)..

I muszę wyznaczyć wymiar przestrzeni generowanej przez wektory z tej macierzy w zależności od s. Dobrze wnioskuję że \(\displaystyle{ dimV=3}\)niezależnie od s?

zgadza się..

[Browning0]

@Up
Zrobiłem tak jak mówiłeś. Po drodze jednak powstał raz jeszcze podobny przypadek. Generalnie to:

dla \(\displaystyle{ a=0}\) mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&a&-1&-2b+4&|6\\0&1&-1&-b+2&|5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&0&-1&-2b+4&|6\\0&1&-1&-b+2&|5\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1&0&0&1&|-2\\0&1&0&b-2&|-1\\0&0&1&2b-4&|6\end{bmatrix}}\)

Przekształcam dalej, dalej i dochodzę do następnego "warunku":

dla \(\displaystyle{ a=1}\) mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&1&-1&-2b+2&|5\\0&0&a-1&-2b+ab-2a+4&|6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&1&-1&-2b+2&|5\\0&0&0&-b+2&|6\end{bmatrix}}\)

Znowu mnożę, tym razem przez \(\displaystyle{ \frac{1}{a-1}}\) przy założeniu że \(\displaystyle{ a \neq 1}\) i dochodzę do postaci dla \(\displaystyle{ a \neq 1, a \neq 0}\):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&\frac{ab-a-4}{a-1}&|\frac{-8a+2}{a-1}\\ \\0&1&0&\frac{-2b+2}{a-1}&|\frac{5a-11}{a-1}\\ \\0&0&1&\frac{-2b+ab-2a+4}{a-1}&|\frac{6}{a-1}\end{bmatrix}}\)

Powiem tak: jestem w 100% pewien że po drodze zrobiłem jakiś błąd rachunkowy lub przekształceniowy. Ale zakładając że nie: czy idea jest dobra? Bo i bez tego doszedłem do poprawnych wniosków: jedyne miejsce w którym się to wszystko psuje, tzn. układ równań nie ma rozwiązań to \(\displaystyle{ a=1, b=2}\)

[adambak]

dla \(\displaystyle{ a=1}\) mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&1&-1&-2b+2&|5\\0&0&a-1&-2b+ab-2a+4&|6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&1&-1&-2b+2&|5\\0&0&0&-b+2&|6\end{bmatrix}}\)

czemu rozpatrujesz \(\displaystyle{ a=1}\)? i nawet jeśli, to czemu wciąż w macierzy masz \(\displaystyle{ a}\), skoro linijkę wcześniej ustaliłeś jakieś \(\displaystyle{ a}\)?
po rozpatrzeniu \(\displaystyle{ a = 0}\), pownieneś rozpatrzeć \(\displaystyle{ a \neq 0}\) (wtedy możesz przez nie mnożyć, dzielić i robić wszystko co Ci się podoba) i już, nic poza tym..-- 1 lut 2012, o 00:25 --układ \(\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b}}\) nie ma rozwiązań (jest sprzeczny) wtw kiedy \(\displaystyle{ \text{rz}(A) \neq \text{rz}([A,\vec{b}])}\)..

[Browning0]

Zastosowałem skrót myślowy taki trochę chyba rzeczywiście mylący.
Tutaj już bez żadnych skrótów:

Dochodzę do momentu, kiedy chcę podzielić przez "a", więc "a" nie może się równać 0:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&a&-1&-2b+4&|6\\0&1&-1&-b+2&|5\end{bmatrix}}\)

dla \(\displaystyle{ a=0}\) podstawiam \(\displaystyle{ a=0}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&0&-1&-2b+4&|6\\0&1&-1&-b+2&|5\end{bmatrix}}\)

dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) dzielę przez "a":
Przekształcam, przekształcam, przekształcam, dochodzę do momentu, kiedy chcę podzielić przez \(\displaystyle{ a-1}\), więc "a" nie może się równać 1:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&1&-1&-2b+2&|5\\0&0&a-1&-2b+ab-2a+4&|6\end{bmatrix}}\)

dla \(\displaystyle{ a=1}\) podstawiam \(\displaystyle{ a=1}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&2b-3&|-8\\0&1&-1&-2b+2&|5\\0&0&0&-b+2&|6\end{bmatrix}}\)

dla \(\displaystyle{ a \neq 1}\) dzielę przez \(\displaystyle{ a-1}\):
Przekształcam, przekształcam, przekształcam, dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&\frac{ab-a-4}{a-1}&|\frac{-8a+2}{a-1}\\ \\0&1&0&\frac{-2b+2}{a-1}&|\frac{5a-11}{a-1}\\ \\0&0&1&\frac{-2b+ab-2a+4}{a-1}&|\frac{6}{a-1}\end{bmatrix}}\)