Przykład przekształcenia liniowego / Wyznacznik nxn macierzy

[little_b]

Witam wszystkich bardzo serdecznie. Jestem studentem I roku informatyki. Po teście zerowym który niestety nie poszedł miażdżącej większości studentów dobrze, nadszedł czas na ogarnięcie się i walkę o wiedzę przed egzaminem. Jako, że to mój pierwszy post, mam nadzieję że piszę go zgodnie z obowiązującymi tu zwyczajami
Do rzeczy. Zadań było ogółem 10, jednakże chciałbym w pierwszej kolejnośći poprosić o pomoc w rozwiązaniu poniższych dwóch, i ewentualnym naprowadzeniu - gdzie, pod jakimi hasłami szukać pomocy. Za wszelkie informacje bardzo dziękuje

Zad 1
Podaj przykład przekształcenia \(\displaystyle{ R \ \rightarrow \ R^{3}}\) , które nie jest liniowym.

Zad 2
Oblicz wyznacznik n x n macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&...&1&1&1\\2&2&2&...&2&2&0\\3&3&3&...&3&0&0\\...&...&...&...&...&...&...\\n-1&n-1&0&...&0&0&0\\n&0&0&...&0&0&0\end{bmatrix}}\)

[bemekw]

Zadanie 2: Jeśli macierz ma postać trójkątną, to wyznacznikiem będzie iloczyn wszystkich liczb na przekątnej - tj w tym przypadku: \(\displaystyle{ \det A = n!}\)

Zadanie 1: Nie jestem pewien, ale chyba wystarczy takie coś \(\displaystyle{ F(x) = [x + 3, 2x, 3x]^T}\). Takie przekształcenie jak widać nie jest addytywne. (Sprawdz sobie, że \(\displaystyle{ F(x + y) \neq F(x) + F(y)}\))

[little_b]

Dziękuje za sprawną odpowiedź, postaram sobie to w miarę możliwości wyjaśnić googlując, niestety nasz drogi wykładowca mocno "po łebkach" przerabiał z nami algebrę liniową.

[adambak]

Zadanie 2: Jeśli macierz ma postać trójkątną, to wyznacznikiem będzie iloczyn wszystkich liczb na przekątnej - tj w tym przypadku: \(\displaystyle{ \det A = n!}\)

to nie jest do końca prawda.. jeśli mamy postać trójkątną górną (czyli liczby różne od zera nad diagonalą) to to co mówisz się zgadza i wynika chociażby z rozwinięcia Laplace'a.. tutaj mamy podchwytliwą macierz, ponieważ jest to macierz trójkątna górna po przestawianiu kolumn.. odpowiedź to:

\(\displaystyle{ \det_n A = \begin{cases} -n! \text{ dla } n=2 \vee n=3 \\ n! \text{ wpp } \end{cases}}\)

proszę sprawdzić, że tak jest (o to łatwo, bo tak się dzieje tylko dla tych małych \(\displaystyle{ n}\)).. a dlaczego tak jest? wspomniana przeze mnie permutacja kolumn stanowi wskazówkę do odpowiedzi..

[c3p0]

Zadanie 2: Jeśli macierz ma postać trójkątną, to wyznacznikiem będzie iloczyn wszystkich liczb na przekątnej - tj w tym przypadku: \(\displaystyle{ \det A = n!}\)

to nie jest do końca prawda.. jeśli mamy postać trójkątną górną (czyli liczby różne od zera nad diagonalą) to to co mówisz się zgadza i wynika chociażby z rozwinięcia Laplace'a.. tutaj mamy podchwytliwą macierz, ponieważ jest to macierz trójkątna górna po przestawianiu kolumn.. odpowiedź to:

\(\displaystyle{ \det_n A = \begin{cases} -n! \text{ dla } n=2 \vee n=3 \\ n! \text{ wpp } \end{cases}}\)

proszę sprawdzić, że tak jest (o to łatwo, bo tak się dzieje tylko dla tych małych \(\displaystyle{ n}\)).. a dlaczego tak jest? wspomniana przeze mnie permutacja kolumn stanowi wskazówkę do odpowiedzi..

Nie zgodzę się. Powinno być:

\(\displaystyle{ \det_n A=(-1)^{ \frac{ n-(n \text{ mod }2) }{ 2 } } \cdot n!}\)
czyli przykładowo:
n=2 -> 1 zamiana -> znak (-)
n=3 -> 1 zamiana -> znak (-)
n=4 -> 2 zamiany -> znak (+)
n=5 -> 2 zamiany -> znak (+)
n=6 -> 3 zamiany -> znak (-)
n=7 -> 3 zamiany -> znak (-)
n=8 -> 4 zamiany -> znak (+)
n=9 -> 4 zamiany -> znak (+)
itd...

[adambak]

c3p0, racja, dzięki wielkie za zwrócenie uwagi!

[c3p0]

Nie ma sprawy